歪度

確率分布の分布特性を示すためには、通常は期待値および分散が用いられる。さらに、分布型の差を示す指標の一つに 3 次モーメント（3 乗の期待値）と 4 次モーメント（4 乗の期待値）とがある。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を除くように標準化される。［平均値は、位置尺度には依存しないが、スケール尺度（たとえば分散）に依存する。］

確率変数 X の期待値が μ、分散が σ² のとき、標準化確率変数 ${\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。

Z の 3 次モーメント ${\displaystyle E(Z^{3}}$) は歪度 ${\displaystyle \beta _{1}^{1/2}}$ と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0 を中心として左右対称であるから歪度は 0 である。歪度の符号によって、正の歪みをもつ分布、負の歪みをもつ分布といわれる。

Z の 4 次モーメント ${\displaystyle E(Z^{4})-3}$ は尖度 β₂ と呼ばれる。分散が σ² である正規分布ならば、平均値まわりの 4 次モーメント ${\displaystyle E(Z^{4})-3}$ は ${\displaystyle 3\sigma ^{4}-3}$ であり、標準正規確率変数では ${\displaystyle \beta _{2}=0}$ である。正負を基準にして、${\displaystyle \beta _{2}>0}$ の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、${\displaystyle \beta _{2}<0}$ の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。

たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に 3 より大きい。

一般に、平均まわりの k 次モーメント ${\displaystyle E((X-\mu )^{k})}$ は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。したがって、歪度と尖度は、原系列を標準化すれば 3 次の標本モーメント ${\displaystyle b_{1}^{1/2}}$ および 4 次の標本モーメント ${\displaystyle b_{2}}$ で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値 0 と 3 に似るか否かを調べればよい（ジャック–ベラ検定）。ボウマン=シェントン^[2]は、正規性検定の指標^{[注釈 2]}

${\displaystyle JB=n{\frac {b_{1}^{2}}{6}}+n{\frac {(b_{2}-3)^{2}}{24}}}$

が、帰無仮説が正規分布である下で自由度が 2 のカイ二乗分布に漸近的に従うことを示した。