波数

物理化学や分光学の分野では単位長さ当たりの波の個数を指し、波数 ~ν は波長 λ の逆数

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}}$

となる。

しばしば波数 ~ν は間接的に光の周波数 ν を指すこともあり、真空中の光速度 c を用いて

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}}$

と関係付けられる。

歴史的にはヨハネス・リュードベリが1880年代に初めて着目し、1908年にリュードベリ・リッツの結合原理において、公式の中に波数を現した。その後、スペクトル線に関する研究が進むにつれ、量子論によってエネルギー準位の差が波数や周波数に比例することがわかった。例えば、水素スペクトル系列はリュードベリの式（英語版）によって

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

と表される。ここで、R_∞ はリュードベリ定数、n, m (n < m) は主量子数である。

波動力学では正弦波の波数を指し、波数 k は 2π を波長 λ で割った量

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

となる。つまり、1 波長分の波を 1 個と数えたとき、波数 k は単位長さ当たりの波の個数を 2π 倍したものに相当する。このとき、k = 2π/λ は角波数 (angular wavenumber) と呼ばれる。

正弦波 u は振幅を A、振動数を ν、波長を λ とすると

${\displaystyle u=A\sin 2\pi \left(\nu t-{\frac {x}{\lambda }}\right)=A\sin(\omega t-kx)}$

のように表示される。ここで、t は時刻、x は位置、ω は角振動数である^[1]。

しばしばフーリエ変換において、実空間の座標の双対として波数 k が用いられる。また量子力学においては波数ベクトル k にディラック定数 ħ を掛けた ħk が運動量 p に対応する^[2]。

古典的には、向きが波面の法線方向（つまり波の伝播方向）で、大きさが波数となるベクトルを、波数ベクトル（あるいは伝播ベクトル、wave vector, k-vector）と定義する。

なお、波数ベクトル k は十分大きな整数の組 (N₁, N₂, N₃) を考えると、

${\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\frac {m_{1}}{N_{1}}}{\boldsymbol {b}}_{1}+{\frac {m_{2}}{N_{2}}}{\boldsymbol {b}}_{2}+{\frac {m_{3}}{N_{3}}}{\boldsymbol {b}}_{3}}$

で表される。b = (b₁, b₂, b₃) は逆格子空間での基本並進ベクトル。整数 m = (m₁, m₂, m₃) は、いろいろな範囲設定が可能だが、一例としてそれぞれ (0, ⋯, N₁ − 1; 0, ⋯, N₂ − 1; 0, ⋯, N₃ − 1) の範囲の任意の整数と設定できる。