独立変数と従属変数

数学において、関数とは入力（数または数の集合等）を受け、出力（数または数の集合等）を出す規則である^[1]。入力される数を表す変数は独立変数と呼ばれ、出力される数を表す変数は従属変数と呼ばれる。入力の最も一般的な記号はxであり、出力の最も一般的な記号はyである。関数は通常、y = f(x)と表される^[2]。

独立変数や従属変数を複数持つことも可能である。 例えば、多変数微積分では、z = f(x,y)の形をした関数にしばしば出会う。ここで、zは従属変数であり、xとyは独立変数である。 複数の出力を持つ関数は、しばしばベクトル値函数と呼ばれる。

数理モデルでは、従属変数の集合と独立変数の集合との関係が研究される^[要出典]。

一般線形モデルy_i = a + bx_i + e_iにおいて、y_iは従属変数のi番目の値であり、x_iは独立変数のi番目の値である。e_iの項は「誤差」であり、独立変数に依らない従属変数の変動を含む^[要出典]。

複数の独立変数がある場合にモデルはy_i = a + bx_i,1 + bx_i,2 + ... + bx_i,n + e_i, となる。ここでnは独立変数の個数を表す^[要出典]。

統計学、特に線形回帰において、データの散布図が生成され、Xが独立変数、Yが従属変数として表される。これは二変量データとも呼ばれ、(x₁, y₁)(x₂, y₂) ...(x_i, y_i)の形を取る。この一般線形モデルは、Y_i = a + Bx_i + U_iの形を取り、i = 1, 2, ... , nとなる。この場合、U_i, ... ,U_nは離散型確率変数である。これは、測定値が互いに影響を与えない場合に発生する。独立性の伝播により、U_iの独立性はY_iの独立性を意味するが、各Y_iには異なる期待値がある。各U_iは期待値が0で、分散がσ²である^[3]。

$${\displaystyle E[Y_{i}]=E[\alpha +\beta x_{i}+U_{i}]=\alpha +\beta x_{i}+E[U_{i}]=\alpha +\beta x_{i}.}$$

二変量データのあてはめはy = α + βxの形を取り、線形単回帰と呼ばれる。αとβはそれぞれ切片と傾きに対応する^[3]。

実験において実験者によって操作される変数は、その働きが証明されている独立変数と言う^[4]。従属変数は、独立変数が操作されるときに変化が期待される事象である^[5]。

統計学でもベイズ推定や多変量解析に踏み込んだ際や、それを応用した機械学習の分野にあっては、Xの確率分布自体も関心の対象であり、そうなると別の概念である確率分布の独立と紛らわしい。そのため「独立変数」ではなく「説明変数」「予測変数」「入力変数」「回帰変数」「特徴量」または単に「変数^[4][6]」と呼び、「従属変数」ではなく「目的変数」「結果変数」「出力変数」「被回帰変数」「ラベル」または「アウトカム」と呼ぶようにすることが多い。

独立変数・従属変数の概念は、ルジャンドル変換において注思すべき概念である。

それが特に重要である熱力学の例を挙げる。内部エネルギーUでの議論はエントロピーSを独立変数とし温度Tを従属変数とする一方、自由エネルギーFでの議論は温度Tを独立変数としエントロピーSを従属変数とする。この変換はルジャンドル変換の一例である。

「曝露変数」と「結果変数」（信頼性工学）

「危険因子」（医療統計学）