真凸函数 From Wikipedia, the free encyclopedia 数学の解析学（特に、凸解析）と数理最適化の分野において、真凸函数（しんとつかんすう、英: proper convex function）とは、拡大実数に値を取る凸函数 f で、少なくとも一つの x に対して f ( x ) < + ∞ {\displaystyle f(x)<+\infty } が成立し、すべての x に対して f ( x ) > − ∞ {\displaystyle f(x)>-\infty } が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として − ∞ {\displaystyle -\infty } を取ることがないことを言う[1]。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる[2]。 真凹函数とは、 f = − g {\displaystyle f=-g} が真凸函数であるような任意の函数 g のことを言う。 性質 Rn 上のすべての真凸函数 f に対し、ある Rn 内の b と R 内の β が存在して f ( x ) ≥ x ⋅ b − β {\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta } がすべての x について成立する。 二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} と B ⊂ X {\displaystyle B\subset X} がベクトル空間 X 内の空でない凸集合であるなら、指示函数（英語版） I A {\displaystyle I_{A}} と I B {\displaystyle I_{B}} は真凸函数であるが、 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\emptyset } であるなら I A + I B {\displaystyle I_{A}+I_{B}} は恒等的に + ∞ {\displaystyle +\infty } に等しい。 二つの真凸函数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも真凸ではない[3]。 参考文献 [1]Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0 [2]Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 24. ISBN 978-0-691-01586-6 [3]Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, 6, North-Holland, p. 168, ISBN 9780080875279, https://books.google.co.jp/books?id=iDRVxznSxUsC&pg=PA168&redir_esc=y&hl=ja. Related Articles
