立方根

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$ と表す。

• 正の数 ${\displaystyle a}$ に対して、

  ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}$

• ${\displaystyle 1}$ の虚立方根の一つを ${\displaystyle \omega }$ とすると、もう一つの虚立方根は ${\displaystyle \omega ^{2}}$ であり、${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega ^{2}}$ はともに 1 の原始冪根である。また、${\displaystyle 1+\omega +\omega ^{2}=0}$ が成り立つ。

${\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}$

${\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}$

${\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}$

• ${\displaystyle \alpha }$ が ${\displaystyle 0}$ でない複素数ならば、${\displaystyle \alpha }$ の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 ${\displaystyle O}$ を中心とする半径 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|\alpha |}}}$ の円に内接する正三角形の頂点になる。

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A002580)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}=1.4422495703\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A002581)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}=1.5874010519\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A005480)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}=1.7099759466\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A005481)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}=1.8171205928\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A005486)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}=1.9129311827\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A005482)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }$(オンライン整数列大辞典の数列 A010581)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}=2.15443469003}$

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

${\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }$

極形式では

${\displaystyle z=r\exp(i\theta )\,}$

ここで rは非負の実数、${\displaystyle \theta }$の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ は ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i}$（${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}}$） が主要根となる（-2（${\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}}$）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}$

単位円での例

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}}$と${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}}$の主要根の関係を単位円上で示すと（${\displaystyle \Im (z)\geq 0}$、偏角 ${\displaystyle \theta =21^{\circ }}$ の例）

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}$