符号関数

実数に対する符号関数は絶対値を用いて

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}{x}/{|x|}&:\ x\neq 0\\0&:\ x=0\end{cases}}}$

と書くこともできる。符号関数の複素数への拡張は、この式を複素数へも適用することで得られる。複素数に対する符号関数は、複素数平面上でベクトルに対し同方向の単位ベクトルを求める操作と同等である（ただし零ベクトル以外のとき）。

なおこのほかに、gnuplotでは、複素数に対し符号関数を

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\operatorname {sgn} \operatorname {Re} x}$

と定義している。またMaple Vでは

${\displaystyle \operatorname {csgn} x={\begin{cases}\operatorname {sgn} \operatorname {Re} x&:\ \operatorname {Re} x\neq 0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} x&:\ \operatorname {Re} x=0\end{cases}}}$

という関数を定義している（${\displaystyle \operatorname {Re} }$ と ${\displaystyle \operatorname {Im} }$ はそれぞれ複素数の実部と虚部）。しかしこれ以降は、これらの定義は使わず、最初の定義の符号関数について述べる。

符号関数は、以下のような性質を持つ（これらは複素数に対し成り立つ）。

極形式との関係:

• ${\displaystyle |\operatorname {sgn} x|={\begin{cases}1&:\ x\neq 0\\0&:\ x=0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \arg \operatorname {sgn} x=\arg x}$ 、ただし ${\displaystyle \arg }$ は偏角
• ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\exp(i\arg x)\quad (x\neq 0)}$

符号の演算:

• ${\displaystyle \operatorname {sgn} \operatorname {sgn} x=\operatorname {sgn} x}$ （冪等性）
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn} x}$（奇関数）
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\frac {1}{x}}={\frac {1}{\operatorname {sgn} x}}\quad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} xy=\operatorname {sgn} x\operatorname {sgn} y}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\frac {x}{y}}={\frac {\operatorname {sgn} x}{\operatorname {sgn} y}}\quad (y\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{y}=(\operatorname {sgn} x)^{y}}$

実数に対しては、加えて次のような性質を持つ。

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\operatorname {\delta } (x)}$ 、ただし ${\displaystyle \operatorname {\delta } }$ はディラックのデルタ関数
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|\quad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2\operatorname {H} _{1/2}(x)-1\,}$ 、ただし ${\displaystyle \operatorname {H_{1/2}} }$ はヘヴィサイドの階段関数
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=[x>0]-[x<0]\,}$ 、ただし ${\displaystyle [\,]}$ はアイヴァーソンのブラケット