超実数

微分

関数 ${\displaystyle f}$ の点 ${\displaystyle x}$ における導関数は、非零の無限小 ${\displaystyle \Delta x}$ を用いて

${\displaystyle f'(x)=st\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$

と表すことができる。^[5]

たとえば ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ に対しては、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}&={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=2x+\Delta x\end{aligned}}}$

となるので、

${\displaystyle f'(x)=st(2x+\Delta x)=2x}$

を得る。^[5]

この定義は、無限小の平方のような高次の無限小が、一次の無限小に比べて無視できるという直観を、標準部によって厳密化したものとみなせる。^[5]

積分

定積分も、超準有限個の区間分割に対する和の標準部として表すことができる。たとえば、正の無限大超自然数 H を取り、

${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{H}}}$

とおくとき、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=st\left(\sum _{k=0}^{H-1}f(a+k\Delta x)\,\Delta x\right)}$

のように記述できる。^[5][7]

この種の和は超準有限和と呼ばれ、超準解析では有限和と類似した操作を保ったまま積分を扱うことができる。^[5][1]

超冪による構成

超実数の代表的な構成法は、実数列全体 R^N から商をとって得る方法である。まず実数列に項別に加法・乗法を定めると、R^N は可換環になる。定数列を通じて実数体 R はこの環に埋め込まれる。^[4][3]

次に、自然数上の自由超フィルター U を 1 つ固定し、2 つの実数列 (a_n), (b_n) に対して

${\displaystyle (a_{n})\sim (b_{n})\iff \{n\in \mathbf {N} \mid a_{n}=b_{n}\}\in U}$

と定める。この同値関係で割った商が、実数体の超冪としての超実数体である。順序も同様に

${\displaystyle (a_{n})\leq (b_{n})\iff \{n\in \mathbf {N} \mid a_{n}\leq b_{n}\}\in U}$

によって定められる。^[4][3]

この構成によって得られる超実数体は、実数体の初等拡大になり、移行原理が成り立つ。^[3]

典型的には、数列

${\displaystyle (1,2,3,\ldots )}$

は無限大元を、数列

${\displaystyle (1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots )}$

は無限小元を与える。もっとも、どの数列がどの超実数を表すかは、選んだ自由超フィルターに依存する。^[5][3]

定義可能なモデル

超実数は一般には一意ではないが、ウラジーミル・カノヴェイとサハロン・シェラハは 2004 年、ZFC のもとで、実数体の定義可能な可算飽和初等拡大が存在することを示した。^[8]

この結果は、超実数のモデルが必ずしも「定義不可能な対象」に依存するわけではないことを示すものとして言及されることがある。^[5][9]