Ähnlichkeitssätze

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

Siehe auch: Kongruenzsätze

In den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ähnliche Dreiecke ${\displaystyle ABC}$ und ${\displaystyle A'B'C'}$ – anschaulich gesprochen – „ineinander geschachtelt“.

Dann ist jedes Seitenlängenpaar in ${\displaystyle ABC}$ quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlängenpaar in ${\displaystyle A'B'C'}$.

• 
  W:W:W-Satz
  drei Winkel stimmen überein
• 
  S:S:S-Satz
  a : a' = (b + b') : b' = (c + c') : c'
• 
  S:W:S-Satz
  a : a' = (b + b') : b',
  die eingeschlossenen Winkel (γ, γ') stimmen überein
• 
  S:S:W-Satz
  a : a' = (b + b') : b',
  die den größeren Seiten gegenüberliegenden Winkel (β, β') stimmen überein

• Alle gleichseitigen Dreiecke sind nach dem S:S:S-Satz zueinander ähnlich.
• Alle gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke sind nach dem S:W:S-Satz zueinander ähnlich.
• Alle Dreiecke im Pythagoras-Baum sind zueinander ähnlich.

Gegeben seien ein Punkt ${\displaystyle P}$ innerhalb eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit ${\displaystyle a=|BC|}$, ${\displaystyle b=|AC|}$ und ${\displaystyle c=|AB|}$ sowie die Parallelen durch ${\displaystyle P}$ zu den Dreiecksseiten. Diese Parallelen teilen jede Dreiecksseite in drei Abschnitte auf (siehe Planfigur).

Sind ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$ und ${\displaystyle c'}$ die Längen der jeweils mittleren Streckenabschnitte, so gilt:

${\displaystyle {\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}+{\frac {c'}{c}}=1}$.

Der Beweis resultiert aus der Ähnlichkeit der drei grauen Dreiecke zum Dreieck ${\displaystyle ABC}$. Hieraus ergibt sich zunächst

${\displaystyle {\frac {b'}{s}}={\frac {b}{c}}}$ und ${\displaystyle {\frac {a'}{t}}={\frac {a}{c}}}$

und danach durch Umformung

${\displaystyle {\frac {b'}{b}}={\frac {s}{c}}}$ und ${\displaystyle {\frac {a'}{a}}={\frac {t}{c}}}$

Daraus folgt schließlich

${\displaystyle {\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}+{\frac {c'}{c}}={\frac {t}{c}}+{\frac {s}{c}}+{\frac {c'}{c}}=1}$.^[1]

• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 144
• Elke Warmuth: Strahlensätze und Ähnliches, Vorlesung Sommersemester 2018 an der Humboldt-Universität zu Berlin (Steckbrief), PDF-Dokument, abgerufen am 9. Dezember 2022
• Joseph D. E. Konhauser, Dan Velleman, Stan Wagon: Which Way Did the Bicycle Go? Mathematical Association of America, Washington (1996)