2-Kategorie

Ausführlich

Eine strikte 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Ansammlung von 1-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine Klasse von 2-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}(f,g)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Kompositionsoperation für 1-Morphismen ${\displaystyle \bullet \colon {\mathcal {C}}_{1}(y,z)\times {\mathcal {C}}_{1}(x,y)\to {\mathcal {C}}_{1}(x,z)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g,h\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine vertikale Kompositionsoperation ${\displaystyle \circ \colon {\mathcal {C}}_{2}(g,h)\times {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\to {\mathcal {C}}_{2}(f,h)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(y,z)}$ und ${\displaystyle h,i\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine horizontale Kompositionsoperation ${\displaystyle \bullet \colon {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\times {\mathcal {C}}_{2}(h,i)\to {\mathcal {C}}_{2}(f\bullet h,g\bullet i)}$,
• für jeden 0-Morphismus ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen ausgezeichneten 1-Morphismus ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}\in {\mathcal {C}}_{1}(x,x)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und jeden 1-Morphismus ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ einen ausgezeichneten 2-Morphismus ${\displaystyle \mathrm {id} _{f}\in {\mathcal {C}}_{2}(f,f)}$.

Wir schreiben ${\displaystyle f\colon x\to y}$, um zu deklarieren, dass ${\displaystyle f}$ ein 1-Morphismus von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$, also Element von ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ ist, und ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g}$, um zu deklarieren, dass ${\displaystyle \alpha }$ ein 2-Morphismus von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle g}$, also Element von ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}(f,g)}$ ist.

Diese Daten gehorchen folgenden Axiomen:

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\bullet f=f=f\bullet \mathrm {id} _{x}}$ für alle 1-Morphismen ${\displaystyle f\colon x\to y}$,
• ${\displaystyle f\bullet (g\bullet h)=(f\bullet g)\bullet h}$ für alle 1-Morphismen ${\displaystyle f\colon y\to z,g\colon x\to y,h\colon w\to x}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{g}\circ \alpha =\alpha =\alpha \circ \mathrm {id} _{f}}$ für alle 2-Morphismen ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma }$ für alle ${\displaystyle f,g,h,i\colon x\to y,\alpha \colon h\Rightarrow i,\beta \colon g\Rightarrow h,\gamma \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{y}}\bullet \alpha =\alpha =\alpha \bullet \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{x}}}$ für alle ${\displaystyle f,g\colon x\to y,\alpha \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \alpha \bullet (\beta \bullet \gamma )=(\alpha \bullet \beta )\bullet \gamma }$ für alle ${\displaystyle f,g\colon w\to x,h,i\colon x\to y,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon h\Rightarrow i,\gamma \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle (\alpha \circ \beta )\bullet (\gamma \circ \delta )=(\alpha \bullet \gamma )\circ (\beta \bullet \delta )}$ für alle ${\displaystyle f,g,h\colon x\to y,i,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon i\Rightarrow j,\gamma \colon g\Rightarrow h,\delta \colon f\Rightarrow g}$.

Per Anreicherung

Eine strikte 2-Kategorie ist eine ${\displaystyle (\mathrm {Cat} ,\times )}$-angereicherte Kategorie. Das heißt, eine strikte 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• für jeden 0-Morphismus ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen Funktor ${\displaystyle i_{x}\colon 1\to \mathrm {Hom} (x,x)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen Funktor ${\displaystyle c_{x,y,z}\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,z)}$,

und diese gehorchen folgenden Axiomen für alle ${\displaystyle w,x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$:

• ${\displaystyle c_{x,y,y}\circ (i_{y}\times \mathrm {id} )=\pi _{2}\colon 1\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• ${\displaystyle c_{x,x,y}\circ (\mathrm {id} \times i_{x})=\pi _{1}\colon \mathrm {Hom} (x,y)\times 1\to \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• ${\displaystyle c_{w,y,z}\circ (\mathrm {id} \times c_{w,x,y})=c_{w,x,z}\circ (c_{x,y,z}\times \mathrm {id} )\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\times \mathrm {Hom} (w,x)\to \mathrm {Hom} (w,z)}$.

Notation

Häufig wird anstelle des infix-${\displaystyle \bullet }$ für die Komposition von 1-Morphismen und die horizontale Komposition von 2-Morphismen einfach Juxtaposition verwendet, natürlicherweise mit stärkerer Bindung als das infix-${\displaystyle \circ }$ für die vertikale Komposition: ${\displaystyle \alpha \beta =\alpha \bullet \beta ;fg=f\bullet g}$. Des Weiteren schreibt man die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{f}\colon f\Rightarrow f}$ auf dem 1-Morphismus ${\displaystyle f}$ häufig auch als ${\displaystyle f}$, und die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}\colon x\to x}$ auf dem 0-Morphismus ${\displaystyle x}$ häufig auch als ${\displaystyle x}$.