Axiom A

In der Mathematik sind Axiom-A-Diffeomorphismen und Axiom-A-Flüsse von Stephen Smale eingeführte Begriffe, mit denen verschiedene Konzepte der Hyperbolizität dynamischer Systeme vereinheitlicht werden. Insbesondere wird dieses Axiom von Anosov-Diffeomorphismen und Anosov-Flüssen erfüllt.

Ein Diffeomorphismus ${\displaystyle f\colon M\to M}$ einer kompakten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ erfüllt Axiom A, wenn die beiden folgenden Bedingungen gelten:

• Die Menge der nichtwandernden Punkte ${\displaystyle \Omega }$ ist eine hyperbolische Menge für ${\displaystyle f}$.
• Die periodischen Punkte von ${\displaystyle f}$ liegen dicht in der Menge der nichtwandernden Punkte ${\displaystyle \Omega }$.

Die Bedingung der Hyperbolizität bedeutet hier, dass die Einschränkung ${\displaystyle TM\mid _{\Omega }}$ des Tangentialbündels auf ${\displaystyle \Omega }$ sich als Whitney-Summe zweier ${\displaystyle Df}$-invarianter Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ und des Tangentialbündels der jeweiligen Orbiten zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{s}}$ eine Kontraktion und die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{u}}$ eine Expansion ist. Das heißt,

${\displaystyle T_{x}M=T_{x}{\mathcal {O}}(x,\varphi )\oplus E_{x}^{s}\oplus E_{x}^{u}}$ für alle ${\displaystyle x\in \Lambda }$,

${\displaystyle (D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{s}=E_{\varphi _{t}(x)}^{s}}$ and ${\displaystyle (D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{u}=E_{\varphi _{t}(x)}^{u}}$ für alle ${\displaystyle x\in \Lambda ,t\in \mathbb {R} }$

und es gibt Konstanten ${\displaystyle 0<\lambda <1,c>0}$ so dass

${\displaystyle \|D\varphi _{t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{s}}$ und ${\displaystyle t>0}$

und

${\displaystyle \|D\varphi _{-t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{u}}$ und ${\displaystyle t>0}$.

Die Formulierung von Axiom A für Flüsse ist wörtlich dieselbe wie für Diffeomorphismen, wobei Hyperbolizität in diesem Fall bedeutet, dass man eine Zerlegung des Tangentialbündels auf ${\displaystyle \Omega }$ als Whitney-Summe des Tangentialbündels des jeweiligen Orbits und zweier ${\displaystyle Df}$-invarianter Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ hat, die ansonsten die obigen Eigenschaften erfüllen.

Anosov-Diffeomorphismen und Anosov-Flüsse sind der Spezialfall für ${\displaystyle \Omega =M}$, wo also alle Punkte der Mannigfaltigkeit nichtwandernd sind. In diesem Fall benötigt man nur die erste Bedingung, weil die Dichtheit der periodischen Punkte bereits aus der ersten Bedingung folgt.