Benutzer:Cspan64/Partielle Integration

Den Umstand, dass jeder arithmetische Ausdruck beliebig oft den unsichtbaren Faktor 1 beinhaltet, kann man ausnutzen, um die partielle Integration darauf anzuwenden. ${\displaystyle \int 1\,dx=x}$

Beispiel: ${\displaystyle {\begin{array}{lll}\int \ln x\,dx&=&\\\int 1*\ln x\,dx&=&x*\ln x-\int x*{\frac {1}{x}}\,dx\\&=&x*\ln x-\int 1\,dx\\&=&x*\ln x-x\\\end{array}}}$

Aufgabe: Berechnen Sie irgendwie:

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx}$

Dem mit dem Hammer ist alles ein Nagel und ich stehe auf partielle Integration:

${\displaystyle \int f(x)\cdot g(x)\,dx=F(x)\cdot g(x)-\int F(x)\cdot g'(x)\,dx}$

Also fangen wir an:

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot \sin ^{3}(x)\,dx}$

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)-\int -\cos(x)\cdot 3\sin ^{2}(x)\cdot \cos(x)\,dx}$ ${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx}$

Nun gut, kann man das weiter abräumen? Glücklicherweise hilft die wohlbekannte Beziehung aus der Grundschule: ;o)

${\displaystyle \cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)}$

Damit gilt:

${\displaystyle \sin ^{2}(x)\cdot \cos ^{2}(x)=\sin ^{2}(x)\cdot (1-\sin ^{2}(x))=\sin ^{2}(x)-sin^{4}(x)}$

Setzen wir ein:

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\cdot (1-\sin ^{2}(x))\,dx}$

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\,dx-3\int \sin ^{4}(x)\,dx}$

Hurra, da steigt ein Phönix aus der Asche, allerdings nur zum Teil, sozusagen ein Flügel:

${\displaystyle 4\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\,dx}$

Immerhin ist das Problem ein Stück weit abgeräumt und lässt sich zurückführen auf die Aufgabe:

Berechnen Sie irgendwie:${\displaystyle \int \sin ^{2}(x)\,dx}$

Wohlan:

${\displaystyle \int \sin ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)-\int -\cos ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx}$

Und wieder hilft das 'Grundschulwissen':

${\displaystyle \int \cos ^{2}(x)\,dx=\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx=\int 1\,dx-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\int \sin ^{2}(x)\,dx}$

Setzen wir ein:

${\displaystyle \int \sin ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)+x-\int \sin ^{2}(x)\,dx}$

Wie schön! Da hüpft der zweite halbe Phönix aus der Asche:

${\displaystyle 2\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\cos(x)\cdot \sin(x)+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x-\cos(x)\cdot \sin(x))+C}$

Nun kommen wir zum Endspurt:

${\displaystyle 4\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\sin ^{3}(x)+{\frac {3}{2}}(x-\cos(x)\sin(x))+C}$

Und damit:

${\displaystyle \int \sin ^{4}(x)\,dx=-{\frac {1}{4}}\cos(x)\sin ^{3}(x)+{\frac {3}{8}}x-{\frac {3}{8}}\cos(x)\sin(x)+C}$

Mathematik macht einfach Spaß! :o)