Benutzer:Leonry/AmOps

Eine amerikanische Option ${\displaystyle C}$ ist ein nicht-negativer adaptierter Prozess ${\displaystyle C=(C_{t})_{t\in \{0,\ldots ,T\}}}$, der zu jedem Zeitpunkt das Ausübungsprofil der Option widerspiegelt. Sofern abgezinst wird häufig ${\displaystyle H}$ anstatt ${\displaystyle C}$ geschrieben.

Eine amerikanische Option lässt sich auch als Familie von europäischen Optionen indiziert über eine Stoppzeit ansehen.

Eine europäische Option lässt sich in trivialer Weise "amerikanisieren", indem das Auszahlungsprofil vor dem Endpunkt zu Null gesetzt wird.

Satz. In einem vollständigen Markt ist der eindeutige arbitragefreie Preis eine amerikanischen Option mit Auszahlungsprofil ${\displaystyle H=(H_{t})_{t\in \{0,\ldots ,T\}}}$ist gegeben durch $${\displaystyle \pi ^{H}=\sup _{\tau \in {\mathcal {T}}[0,T]}\mathbb {E} ^{\ast }[H_{\tau }]}$$wobei ${\displaystyle {\mathcal {T}}[t,T]=\{\tau$ :\Omega \to \{t,\ldots ,T\}\cup \{\infty \}\ \mathrm {Stoppzeit} \}} und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\ast }}$ das eindeutige äquivalente Martingalmaß ist. Es existiert weiter eine Wertsicherungsstrategie ${\displaystyle \xi }$ mit Startvermögen ${\displaystyle W_{0}=\pi ^{H}}$ und Wertprozess (auch Vermögensprozess)$${\displaystyle W_{t}=W_{0}\sum _{s=1}^{t}\xi _{s}(X_{s}-X_{s-1})\geq H_{t}\quad \mathbb {P} ^{\ast }\mathrm {-f.s.} }$$für ${\displaystyle t\in \{0,\ldots ,T\}}$. Dabei ist ${\displaystyle W_{0}=\pi ^{H}}$ minimal und es existiert eine optimale Stoppzeit ${\displaystyle {\tilde {\tau }}\in \{\tau$ :\Omega \to \{0,\ldots ,T\}\cup \{\infty \}\}} , wofür das Supremum erreicht wird.

Beweisskizze. Ähnlich dem Beweis beim Superreplizieren wird eine Wertprozess ${\displaystyle U}$ der Form ${\displaystyle U_{t}:=\mathrm {ess} \!\!\!\!\!\sup _{\tau \in {\mathcal {T}}[t,T]}\mathbb {E} ^{\ast }[H_{\tau }\vert {\mathcal {F}}_{t}]}$ definiert. Tatsächlich handelt es sich um ein Supremum schlechthin. Es lässt sich mittels der Doob-Meyer-Zerlegung zeigen, dass ${\displaystyle U}$ eine Identität der dynamischen Programmierung, nämlich $${\displaystyle {\begin{cases}U_{T}=H_{T}\\U_{t-1}=H_{t-1}\lor \mathbb {E} ^{\ast }[U_{t}\vert {\mathcal {F}}_{t-1}]\end{cases}}}$$für alle ${\displaystyle t\in \{1,\ldots ,T\}}$ erfüllt. Weiter lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle U}$ die Snell-Einhüllende von ${\displaystyle H}$ bezüglich ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\ast }}$ ist.

Satz. (Optimales Stoppen) Sei ${\displaystyle U}$ die Snell-Einhüllende von einer amerikanischen Option ${\displaystyle H}$ bezüglich ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\ast }}$ und betrachte ihre Doob-Meyer-Zerlegung ${\displaystyle U=M-A}$. Dann ist ${\displaystyle \tau _{\min }:=\min\{t\in \{0,\ldots ,T\}\vert U_{t}=H_{t}\}}$ die kleinste Stoppzeit und ${\displaystyle \tau _{\max }:=\max\{t\in \{0,\ldots ,T\}\vert A_{t}=0\}}$ die größte Stoppzeit, wofür das Supremum erreicht wird. Außerdem ist jede andere optimale Stoppzeit ${\displaystyle {\tilde {\tau }}}$ durch die beiden Stoppzeit beschränkt und es gilt ${\displaystyle U_{\tilde {\tau }}=H_{\tilde {\tau }}}$ sowie ${\displaystyle A_{\tilde {\tau }}=0}$. Umgekehrt gilt für jede Stoppzeit die dies erfüllt, dass sie optimal ist.

Korollar. In einem vollständigen Markt führt der Käufer einer zum arbitragefreien Preis gehandelten amerikanischen Option diese genau dann optimal aus, wenn zum entsprechenden Zeitpunkt ${\displaystyle \tau ^{\ast }\leq T}$ sowohl ${\displaystyle U_{\tau ^{\ast }}=H_{\tau ^{\ast }}}$ als auch ${\displaystyle A_{\tau ^{\ast }}=0}$ gilt. In diesem Falle verhindert der Käufer, dass dem Verkäufer sich eine Arbitragemöglichkeit anbietet.