Benutzer:MovGP0/Notizen

Vektorrechnung

Graßmann-Produkt

${\displaystyle \mathbf {p} \,\mathbf {q} =\left(p\cdot q-{\vec {p}}\cdot {\vec {q}},p\cdot {\vec {q}}+{\vec {p}}\cdot q+{\vec {p}}\times {\vec {q}}\right)}$

Vektorprodukt

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {det} \,{\begin{vmatrix}u_{y}&v_{y}\\u_{z}&v_{z}\end{vmatrix}}\\\operatorname {det} \,{\begin{vmatrix}u_{z}&v_{z}\\u_{x}&v_{x}\end{vmatrix}}\\\operatorname {det} \,{\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}\\u_{y}&v_{y}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{y}\,v_{z}-v_{y}\,u_{z}\\u_{z}\,v_{x}-u_{z}\,v_{x}\\u_{x}\,v_{y}-u_{x}\,v_{y}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {q} \times \mathbf {p} =\left(0,{\vec {q}}\times {\vec {p}}\right)}$

Skalarprodukt

sprich: u in v (da der eine Vektor mit cos(φ) in den anderen Vektor gedreht wird)

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}=\left|\mathbf {u} \right|\cdot \left|\mathbf {v} \right|\cdot \cos {\varphi _{uv}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }$

Differenzialrechnung

${\displaystyle \left(a\right)'=0}$

${\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}$

${\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}$

${\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}$

${\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{(f^{-1})'\,f(x)}}}$

${\displaystyle (\ln(f))'={\frac {f'}{f}}}$

siehe auch: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integralrechnung

Partielle Integration

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x}$

ist Umkehrung der Produktregel:

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$

${\displaystyle u'\cdot v=(u\cdot v)'-u\cdot v'}$

${\displaystyle \int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=\int (u\cdot v)'\,\mathrm {d} x-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=u\cdot v-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x}$

Integration durch Substitution

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\mathrm {d} x}=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{f(t)}\,\mathrm {d} t}$

Wird verwendet um ein Integral in ein einfacher zu bestimmendes Integral zu transformieren.

Polynomdivision und Partialbruchzerlegung

Wird verwendet wenn ein Integral aus Brüchen nicht lösbar ist.

siehe auch: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen