Càdlàg-Funktion

Sei ${\displaystyle E}$ ein polnischer Raum wie beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine Funktion

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to E}$

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ^{d}}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I=[a,b]}$ wird oft mit ${\displaystyle D([a,b])}$ bezeichnet.

Der Raum der Càdlàg-Funktionen lässt sich mit verschiedenen Metriken oder Topologien ausstatten:

• mit der primitiv durch die Supremumsnorm induzierten Metrik erhält man einen nicht-separablen Banachraum.
• mit bestimmt gewählten Metriken lassen sich die Skorochod-Topologien ${\displaystyle J_{1}}$, ${\displaystyle J_{2}}$, ${\displaystyle M_{1}}$ oder ${\displaystyle M_{2}}$ induzieren, wobei der Raum dann Skorochodraum genannt wird.^[1][2]
• mit der durch die stochastische Mechanik nach Edward Nelson motivierte Meyer-Zheng-Topologie.^[3]
• mit der ${\displaystyle S}$-Topologie nach Adam Jakubowski.^[4][5]

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$ einer reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad ${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ an jeder Stelle ${\displaystyle t}$ rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

• Eric W. Weisstein: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch).
• Eintrag zum Skorokhod-Raum (archiviert) und zur Skorochod-Topologie (archiviert) in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eintrag zur Skorochod-Topologie im Lexikon der Mathematik