Einschnürungssatz

Beispiel 1

Die Folge

${\displaystyle w_{n}={\frac {1}{n+3}}}$

wird wegen

${\displaystyle 0\leq w_{n}\leq {\frac {1}{n}}}$

von den Folgen ${\displaystyle y_{n}=1/n}$ und ${\displaystyle x_{n}=0}$ eingeschnürt. ${\displaystyle y_{n}}$ und ${\displaystyle x_{n}}$ konvergieren aber beide gegen ${\displaystyle 0}$, und somit konvergiert nach der Einschließungsregel ${\displaystyle w_{n}}$ ebenfalls gegen ${\displaystyle 0}$.

Beispiel 2

Die Folge

${\displaystyle w_{n}=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}}$

lässt sich einerseits mithilfe der Bernoullischen Ungleichung nach unten wie folgt abschätzen:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}\geq 1-{\frac {n}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}.}$

Andererseits lässt sie sich nach oben abschätzen durch

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}\leq 1,}$

denn jeder Faktor ${\displaystyle 1-1/n^{2}}$ ist kleiner als 1 und somit auch die ${\displaystyle n}$-te Potenz. Somit wird ${\displaystyle w_{n}}$ durch die Folgen ${\displaystyle x_{n}=1-1/n}$ und ${\displaystyle y_{n}=1}$ eingeschnürt, welche beide gegen 1 konvergieren. Nach dem Einschnürungssatz muss dann auch ${\displaystyle w_{n}}$ gegen 1 konvergieren.^[5]

Beispiel 1

Die Funktion ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin \!\left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ist für alle reellen ${\displaystyle x\neq 0}$ definiert. Den Grenzwert für ${\displaystyle x\to 0}$ auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei ${\displaystyle x=0}$ nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da ${\displaystyle \sin \!\left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ in der Nähe von ${\displaystyle x=0}$ oszilliert und dort keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Aus der Definition der Sinusfunktion folgt

${\displaystyle -1\leq \sin(1/x)\leq 1.}$

Durch Multiplikation mit ${\displaystyle x^{2}>0}$ erhält man hieraus die Abschätzung

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin(1/x)\leq x^{2}.}$

Wegen ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$ folgt mit dem Einschnürungssatz ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin(1/x)=0.}$

Beispiel 2

Der Grenzwert ${\textstyle \lim _{x\to 0}\sin(x)/x}$ ist unter anderem hilfreich bei der Bestimmung der Ableitung der Sinusfunktion.

Da ${\displaystyle f(x)=\sin(x)/x}$ eine gerade Funktion ist, genügt es, den Grenzwert zu betrachten, wenn ${\displaystyle x}$ von rechts gegen null strebt. Aus elementargeometrischen Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) folgt für ${\displaystyle 0<x<\pi /2}$ die Abschätzung

${\displaystyle \cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}$,

das heißt die Funktion ${\displaystyle f(x)}$ wird in diesem Bereich eingezäunt durch die Funktionen ${\displaystyle g(x)=\cos x}$ und ${\displaystyle h(x)=1}$. Wegen ${\textstyle \lim _{x\to 0}\cos(x)=1}$ folgt mit dem Einschnürungssatz

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$.^[8][9][10]

Aufgrund der geometrischen Argumentation weist diese Grenzwertbestimmung nicht die mathematische Strenge auf, die in der modernen Analysis gefordert wird. Ein rein analytischer Beweis, der ohne Rückgriff auf anschaulich-geometrische Überlegungen auskommt, lässt sich mithilfe von Potenzreihen führen.^[11]