Satz vom Minimum und Maximum

In der Frühzeit der Analysis wurden anschauliche Resultate wie der Satz vom Minimum und Maximum meistens als „offensichtlich wahr“ angesehen und bedenkenlos verwendet. Ein Bedürfnis, auch solche Sätze zu beweisen, um der Analysis ein solides Fundament zu verleihen, kam erst im 19. Jahrhundert auf. So wurde der Satz vom Minimum und Maximum erstmals in den 1830er Jahren von Bernard Bolzano in seiner Arbeit Functionenlehre bewiesen, welche jedoch bis 1930 unveröffentlicht blieb.^[6] Von Karl Weierstraß, der sich ebenfalls um die logisch fundierte Aufarbeitung der Analysis verdient gemacht hat, wurde der Satz in seinen Vorlesungen von 1861 als „Hauptlehrsatz“ bezeichnet und ebenfalls bewiesen.^[7] Seine Schüler trugen zur Verbreitung der Weierstraßschen Strenge bei, wodurch der Satz schließlich fester Bestandteil der mathematischen universitären Grundausbildung wurde.^[8]

Ist ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} \,\,(a,b\in \mathbb {R} \,,\,a\leq b)}$ eine stetige Funktion, so gibt es stets Punkte ${\displaystyle x_{m},x_{M}\in [a,b]}$ derart, dass für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$ die Ungleichung ${\displaystyle f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})}$ erfüllt ist.^[9][10]

• Eine wichtige Klasse von Funktionen sind die Polynomfunktionen. Da jede Polynomfunktion stetig ist, nimmt sie auf einem kompakten Intervall ihr Maximum und ihr Minimum an. Dabei können die Extremwerte in den Randpunkten des Intervalls liegen.
• Die Funktion ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\cdot \cos x\cdot e^{\cos x}-\ln(x+1)}$ ist auf dem kompakten Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ definiert. Außerdem ist sie dort stetig, da sie nur aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt sie auf ${\displaystyle [0,1]}$ ihr Maximum und Minimum an.^[11] Ein Nachweis der Extremstellen mithilfe der Differentialrechnung wäre hier sehr aufwändig.

Alle Voraussetzungen des Satzes sind für die Schlussfolgerung unverzichtbar, das heißt das Intervall muss beschränkt und abgeschlossen sein und die Funktion muss stetig sein. Ist auch nur eine Voraussetzung nicht erfüllt, gilt der Satz nicht mehr, wie die folgenden Beispiele zeigen:

• Die Funktion ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ist stetig und der Definitionsbereich ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt. Die Funktion wächst unbegrenzt und nimmt folglich kein Maximum an.^[8]
• Die Funktion ${\displaystyle f\colon (0,1]\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto 1/x}$ ist stetig und der Definitionsbereich ist beschränkt, aber nicht abgeschlossen. Die Funktion besitzt bei ${\displaystyle x=0}$ eine Polstelle und nimmt folglich kein Maximum an.^[12]
• Die Funktion ${\displaystyle f\colon [-1,1]\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle f(0)=0}$ ist auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definiert, aber im Punkt ${\displaystyle x=0}$ nicht stetig. Sie besitzt kein Minimum, da die Funktionswerte sich zwar dem Infimum für ${\displaystyle x\to 0}$ beliebig nähern, sie dieses jedoch nicht erreichen.

Standardmäßig wird zunächst die Beschränktheit der Funktion ${\displaystyle f}$ gezeigt und dann die Existenz von Minimum und Maximum. Im Folgenden werden beide Beweise als Widerspruchsbeweis geführt.

Beschränktheit: Angenommen, ${\displaystyle f}$ wäre nicht beschränkt, dann gäbe es eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ mit ${\displaystyle |f(x_{n})|>n}$. Da alle Folgenglieder ${\displaystyle x_{n}}$ im (beschränkten) Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ liegen, gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$. Deren Grenzwert ${\displaystyle x^{*}}$ liegt wegen ${\displaystyle a\leq x_{n_{k}}\leq b}$ ebenfalls in ${\displaystyle [a,b]}$. Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, konvergiert die Folge ${\displaystyle (f(x_{n_{k}}))_{k\in \mathbb {N} }}$, und zwar gegen ${\displaystyle f(x^{*})}$. Als konvergente Folge muss sie aber beschränkt sein, was der zu Beginn des Beweises erhaltenen Abschätzung ${\displaystyle |f(x_{n_{k}})|>n_{k}}$ widerspricht. Also war die Annahme falsch, das heißt ${\displaystyle f}$ ist beschränkt.

Existenz von Minimum und Maximum: Da ${\displaystyle f}$ wie schon gezeigt beschränkt ist, hat sie ein Supremum ${\displaystyle M}$. Angenommen, ${\displaystyle M}$ wäre nicht auch das Maximum der Funktion. Dann gilt einerseits ${\displaystyle f(x)<M}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$, aber die Funktionswerte kommen ${\displaystyle M}$ andererseits beliebig nahe, da ${\displaystyle M}$ die kleinste obere Schranke ist. Sei ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}}$.

Da der Nenner wegen ${\displaystyle f(x)<M}$ stets positiv bleibt, ist ${\displaystyle g}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ wohldefiniert und sogar stetig. Es wurde im ersten Teil des Beweises schon gezeigt, dass dann ${\displaystyle g}$ nach oben beschränkt ist. Andererseits wird der Nenner aber beliebig klein, was zu einem Widerspruch führt.

Der Beweis für das Minimum geht analog, indem man die durch ${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)-m}}}$ definierte Funktion betrachtet, die ebenfalls stetig, aber unbeschränkt ist, falls ${\displaystyle f(x)>m}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$ gilt.^[13][12][14]

• Aus dem Satz vom Minimum und Maximum folgt zusammen mit dem Zwischenwertsatz:

Das Bild einer stetigen Funktion, die auf einem kompakten Intervall definiert ist, ist wieder ein kompaktes Intervall.^[15]

• Mithilfe des Satzes vom Minimum und Maximum lässt sich der Satz von Rolle beweisen. Dieser wiederum wird oft zum Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung genutzt, mit dem zahlreiche Verfahren der Kurvendiskussion mathematisch gerechtfertigt werden. Das unterstreicht die grundlegende Bedeutung des Satzes vom Minimum und Maximum.

Der Satz gilt auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass die Funktion lediglich halbstetig ist (siehe Beweisarchiv). Zudem bleibt der Satz gültig, wenn die Funktion auf einem kompakten Hausdorff-Raum definiert ist:

Sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorff-Raum und ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion. Dann ist ${\displaystyle f}$ beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an.^[16]

• Christian Blatter: Analysis I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 151). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 3-540-06738-8 (zbMATH Open).
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).