Gleichförmige Bewegung

Da die gleichförmige Bewegung entlang einer geraden Linie verläuft, ist es häufig zweckmäßig, die Koordinatenachse entlang der Bewegung auszurichten. In diesem Fall wird die Position des Objekts durch eine einzige Koordinate (Skalar) beschrieben, welche den vorzeichenbehafteten Abstand des Objekts zum Koordinatenursprung angibt.

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit gleichbleibend,

${\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\text{konstant}},}$

d. h. in gleichen Zeitintervallen werden gleiche Wegstrecken zurückgelegt. Somit ist die in einem Zeitintervall ${\displaystyle \Delta t}$ zurückgelegte Wegstrecke ${\displaystyle \Delta s}$ proportional zur vergangenen Zeit und die Geschwindigkeit ist die Proportionalitätskonstante: ${\displaystyle \Delta s=v\cdot \Delta t}$. Die Größe ${\displaystyle \Delta s}$ gibt nur die zurückgelegte Wegstrecke an, also die Änderung der Position. Das Weg-Zeit-Gesetz hingegen gibt die Position zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ an. Diese setzt sich zusammen aus einer Anfangsposition ${\displaystyle s_{0}=s(t_{0})}$, die nicht unbedingt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, sowie der seit dem Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ zurückgelegten Wegstrecke. Also gilt

${\displaystyle s(t)=v\cdot (t-t_{0})+s_{0}\quad }$bzw. ${\displaystyle \quad s(t)=v\cdot t+s_{0}}$

wenn man ${\displaystyle t_{0}=0}$ setzt. Da sich die Geschwindigkeit nicht ändert, ist die Beschleunigung null, d. h. es handelt sich um eine unbeschleunigte Bewegung:

${\displaystyle a(t)=a=0}$.

Allgemein findet eine gleichförmige Bewegung – wie jede Bewegung – im dreidimensionalen Raum statt und lässt sich somit mithilfe von Vektoren beschreiben. Insbesondere ist die Geschwindigkeit ein Vektor, der Geschwindigkeitsvektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$, der bei der gleichförmigen Bewegung per Definition konstant ist. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz lautet also

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}={\text{konstant}}.}$

Bei der vektoriellen Geschwindigkeit wird die Änderung des Ortes ${\displaystyle \Delta {\vec {r}}}$ ins Verhältnis gesetzt zur dazu benötigten Zeit ${\displaystyle \Delta t}$. Bei konstanter Geschwindigkeit gilt somit für jedes Zeitintervall ${\displaystyle {\tfrac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\vec {v}}_{0}}$ bzw. ${\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {v}}_{0}\Delta t}$. Mit der Anfangszeit ${\displaystyle t_{0}}$ und dem Anfangsort ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\vec {r}}(t_{0})}$ erhält man hieraus das Weg-Zeit-Gesetz

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot (t-t_{0})+{\vec {r}}_{0}\quad }$bzw. ${\displaystyle \quad {\vec {r}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot t+{\vec {r}}_{0}}$,

wenn man ${\displaystyle t_{0}=0}$ setzt. Hieraus erhält man die zurückgelegte Wegstrecke als den mit der vergangenen Zeit multiplizierten Geschwindigkeitsbetrag:

${\displaystyle s=|{\vec {r}}(t)-{\vec {r}}_{0}|=|{\vec {v}}_{0}|\cdot t}$

Eine konstante Geschwindigkeit bedeutet, dass das Objekt keine Beschleunigung bzw. eine Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ von null erfährt. Es gilt also das folgende Beschleunigungs-Zeit-Gesetz:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\vec {a}}=0.}$

Beispiel

Ein Objekt bewege sich von einem Anfangspunkt ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}}}$ (jeweils in der Einheit Meter) mit der konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}={\begin{pmatrix}2\ \\-1\ \\0\ \end{pmatrix}}}$ (jeweils in der Einheit m/s) in der xy-Ebene. Dann ist seine Position zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ gegeben durch den Ortsvektor

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}}\cdot t+{\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2t\\-t+4\\0\end{pmatrix}}.}$

Nach 3 Sekunden befindet es sich zum Beispiel im Punkt ${\displaystyle (6,1,0)}$ (in Metern). Wegen ${\displaystyle |{\vec {v}}_{0}|={\sqrt {5}}}$ hat es bis dahin ${\displaystyle 3\cdot {\sqrt {5}}\approx 6{,}71}$ Meter zurückgelegt.

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• Gleichförmige Bewegung mit Beispielen etc. auf Schülerniveau (LEIFI)