Strahl (Geometrie)

Ein Strahl ist eindeutig bestimmt durch seinen Anfangspunkt ${\displaystyle A}$ und einen weiteren Punkt ${\displaystyle B}$ auf dem Strahl, der seine Richtung spezifiziert; man spricht auch vom Strahl mit dem Ursprung ${\displaystyle A}$ in Richtung ${\displaystyle B}$.^[3] Er wird häufig mit ${\displaystyle [AB}$ oder ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ bezeichnet, wobei die erste Schreibweise zum Ausdruck bringt, dass der Strahl durch den Punkt ${\displaystyle A}$ begrenzt wird, sich aber über den Punkt ${\displaystyle B}$ hinaus erstreckt. Gehört der Anfangspunkt zum Strahl, so spricht man von einer abgeschlossenen Halbgeraden, ansonsten von einer offenen Halbgeraden.^[4]

Jeder Punkt ${\displaystyle A}$ auf einer Geraden ${\displaystyle g}$ zerlegt die Gerade in zwei komplementäre Strahlen ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ mit gemeinsamem Anfangspunkt ${\displaystyle A}$.^[4][5] Somit lässt sich ein Strahl als Teil einer Geraden auffassen,^[6] was die alternative Bezeichnung Halbgerade rechtfertigt.

Für eine logisch strenge Definition eines Strahls im Rahmen eines Axiomensystems gibt es zwei Möglichkeiten: Ist die Gerade mit einem Durchlaufsinn (Orientierung) versehen, so lässt sich die eine Halbgerade definieren als die Menge aller Punkte, die vor ${\displaystyle A}$ liegen und die andere Halbgerade als die Menge aller Punkte, die hinter ${\displaystyle A}$ liegen.^[7] Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) hingegen lässt sich die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ definieren als die Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$ auf der Geraden ${\displaystyle AB}$, für die ${\displaystyle A}$ nicht zwischen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle X}$ liegt.^[3]

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ der Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$, deren Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {X}}}$ gegeben ist durch

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda ({\vec {b}}-{\vec {a}})}$ mit ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

Dabei sind ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ die Ortsvektoren der Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle \lambda }$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung. Zur Definition einer offenen Halbgeraden schränkt man den Parameter auf echt positive Werte ein.