Markström, der für den SK Pollux aus Västerås startete, belegte bei den Juniorenweltmeisterschaften 1983 in Sarajevo den 27. Platz sowie bei den Juniorenweltmeisterschaften 1984 in Assen den 20. Rang im Kleinen Vierkampf und wurde im Jahr 1986 schwedischer Juniorenmeister im Kleinen Vierkampf sowie im Sprint-Mehrkampf. Erstmals im Eisschnelllauf-Weltcup startete er in der Saison 1986/87 in Davos, wobei er jeweils den 28. Platz über 500 m und 1000 m errang. In der Saison 1987/88 erreichte er in Inzell mit dem zweiten Platz über 1500 m seine einzige Podestplatzierung im Weltcup und mit drei Top-Zehn-Platzierungen über 1000 m den achten Platz in der Gesamtwertung über diese Distanz. In den folgenden Jahren lief er bei der Sprintweltmeisterschaft 1991 in Inzell auf den 25. Platz, bei der Sprintweltmeisterschaft 1993 in Shibukawa auf den 23. Rang und bei der Sprintweltmeisterschaft 1994 in Calgary auf den 31. Platz im Sprint-Mehrkampf. Zudem belegte er bei den Olympischen Winterspielen 1992 in Albertville den 33. Platz über 500 m und bei den Olympischen Winterspielen 1994 in Lillehammer den 29. Platz über 1000 m sowie den 25. Rang über 500 m. Letztmals im Weltcup startete er im März 1994 in Heerenveen, wobei er den 14. Platz über 1000 m und die Plätze 19 und acht über 500 m errang. Bei schwedischen Meisterschaften siegte er im Jahr 1989 über 500 m und im Jahr 1993 im Sprint-Mehrkampf.
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