Kähler-Gruppe
mathematische Gruppe
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In der Mathematik sind Kähler-Gruppen die Fundamentalgruppen kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten.
Jean-Pierre Serre bewies 1958, dass jede endliche Gruppe die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät und damit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist, und stellte die Frage, welche endlich präsentierten Gruppen Kähler-Gruppen sind. Das ist seitdem eine Frage der mathematischen Forschung, bisher gibt es keine Klassifikation von Kähler-Gruppen.
Beispiele
Obstruktionen
- Die erste Gruppenkohomologie einer Kähler-Gruppe muss gerade-dimensional sein und (nach dem schweren Lefschetz-Satz) eine nicht-ausgeartete schiefsymmetrische Form besitzen.
- Eine unendliche Kähler-Gruppe kann nicht Fundamentalgruppe einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit sein (Satz von Dimca-Suciu).
- Eine unendliche Kähler-Gruppe hat nur ein Ende (Satz von Gromov).
- Wenn eine hyperbolische Kähler-Gruppe eine quasikonvexe Untergruppe besitzt, für die mindestens zwei Enden hat, dann ist kommensurabel zu einer Flächengruppe (Folgerung aus dem Satz von Napier-Ramachandran).
- Eine auflösbare Kähler-Gruppe muss fast-nilpotent sein (Satz von Delzant).
- Eine Kähler-Gruppe, die (minimal, treu und nicht-elementar) auf einem simplizialen Baum wirkt, muss eine Flächengruppe sein (Satz von Gromov-Schoen).
Literatur
- Amoros-Burger-Corlette-Kotschick-Toledo: Fundamental groups of compact Kähler manifolds. Mathematical Surveys and Monographs. 44. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xi, 140 p. (1996).
- Marc Burger: Fundamental groups of Kähler manifolds and geometric group theory. Séminaire Bourbaki. Volume 2009/2010. Exposés 1012–1026. Paris: Société Mathématique de France (SMF) (ISBN 978-2-85629-326-3/hbk). Astérisque 339, 305–321, Exp. No. 1022 (2011).
- Pierre Py: Lectures on Kähler groups. Princeton Mathematical Series 52. Princeton, NJ: Princeton University Press (ISBN 978-0-691-24715-1/hbk; 978-0-691-24716-8/ebook). xiii, 382 p. (2025).