Lichnerowicz-Formel

In der Mathematik, insbesondere im Bereich der Differentialgeometrie, setzt die Lichnerowicz-Formel den Spinor-Laplace-Operator mit dem Quadrat des Dirac-Operators in Beziehung. Sie ist ein Beispiel einer Weitzenböck-Formel. Benannt ist sie nach André Lichnerowicz.

Es sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Skalarkrümmung ${\displaystyle R}$, und es sei ${\displaystyle S\to M}$ ein Spinorbündel zu einer Spinstruktur auf ${\displaystyle (M,g)}$, mit Dirac-Operator ${\displaystyle D}$ und Spinor-Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta ^{S}}$. Dann besagt die Lichnerowicz-Formel:

${\displaystyle D^{2}=\Delta ^{S}+{\frac {R}{4}}Id}$.

Aus der Lichnerowicz-Formel folgt, dass jeder Eigenwert des Dirac-Operators die Ungleichung ${\displaystyle \lambda ^{2}\geq {\tfrac {1}{4}}{\text{min}}_{x\in M}R(x)}$ erfüllt. Insbesondere kann es auf Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung keine Spinoren im Kern des Dirac-Operators geben, woraus mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz ${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} (TM)=0}$ folgt.