Hadamardsche Lückenreihe

Eine (Hadamardsche) Lückenreihe ist eine komplexe Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}z^{n}}$, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

(HL) Es existiert eine streng monoton wachsende Zahlenfolge ${\displaystyle (m_{n})_{n=0,1,2,\dots }}$ natürlicher Zahlen und eine reelle Zahl ${\displaystyle \delta >0}$ derart, dass gilt:

(HL1) Für   ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$   ist stets   ${\displaystyle m_{n+1}-m_{n}>{\delta }\cdot m_{n}}$  .

(HL2) Für   ${\displaystyle k,n=0,1,2,\dots }$   sind stets   ${\displaystyle a_{m_{n}}\neq 0}$   und zugleich   ${\displaystyle a_{k}=0}$  , falls   ${\displaystyle m_{n}<k<m_{n+1}}$.

Es gilt also:

(HL*) ${\displaystyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{m_{n}}z^{m_{n}}}$ mit ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {m_{n+1}}{m_{n}}}>1}$. Setzt man ${\displaystyle b_{n}=a_{m_{n}}\;(n=0,1,2,\dots )}$, so hat man eine Darstellung ${\displaystyle \textstyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{m_{n}}}$.

Der Lückensatz von Hadamard (im englischsprachigen Raum auch Ostrowski-Hadamard Gap Theorem genannt^[6]) macht nun die Aussage, dass mittels Hadamardscher Lückenreihen gegebene holomorphe Funktionen nirgends analytisch fortsetzbar sind.

Genauer gesagt gilt:^[7][8][9]

Ist eine komplexwertige Potenzreihe   ${\displaystyle P(z)}$   mit dem Konvergenzradius   ${\displaystyle R>0}$   eine Hadamardsche Lückenreihe, so ist die zugehörige holomorphe Funktion   ${\displaystyle z\mapsto P(z)}$   nirgends über die offene Konvergenzkreisscheibe   ${\displaystyle B_{R}=\{z\colon \,|z|<R\}\subseteq \mathbb {C} }$   hinaus fortsetzbar und der Rand   ${\displaystyle \partial {B_{R}}=\{z\colon \,|z|=R\}}$   bildet die natürliche Grenze.

Einer der schärfsten Nichtfortsetzbarkeitssätze ist der Lückensatz von Fabry – so genannt nach dem französischen Mathematiker Eugène Fabry –, der den Hadamardschen Lückensatz sogar umfasst und wie folgt lautet:^[10][11][12]

Erfüllt eine komplexwertige Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{m_{n}}}$ mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle R}$ die Bedingung ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {m_{n}}{n}}=\infty }$, so ist die zugehörige holomorphe Funktion ${\displaystyle z\mapsto P(z)}$ nirgends über die offene Konvergenzkreisscheibe ${\displaystyle B_{R}=\{z\colon \,|z|<R\}\subseteq \mathbb {C} }$ hinaus fortsetzbar und der Rand ${\displaystyle \partial {B_{R}}=\{z\colon \,|z|=R\}}$ bildet die natürliche Grenze.

Die Aussage beider Sätze lässt sich zusammenfassen wie folgt:

Unter den jeweiligen Bedingungen ist der Konvergenzkreis   ${\displaystyle B_{R}=\{z\colon \,|z|<R\}\subseteq \mathbb {C} }$   das Holomorphiegebiet der zugehörigen holomorphen Funktion   ${\displaystyle z\mapsto P(z)}$ ^[13]

(1) ${\displaystyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$

(2) ${\displaystyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n!}}$

In beiden Fällen ist das Holomorphiegebiet die Einheitskreisscheibe.^[14][15]

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1965.
• Alexander Dinghas: Vorlesungen über Funktionentheorie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 110). Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1961. MR0179329
• J. Hadamard: Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor. In: Journ. Math. pur. appl. Band 8, 1892, S. 101–186.
• J.-P. Kahane: Lacunary Taylor and Fourier series. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 70, 1964, S. 199–213. MR0162919
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.