Mahlers 3/2-Problem

Sei ${\displaystyle x}$ eine von null verschiedene reelle Zahl. Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 0}$ lässt sich das Produkt von ${\displaystyle x}$ mit einer Potenz von ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ in einen Ganzzahl- und einen Nachkommaanteil zerlegen

${\displaystyle x\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=g_{n}+r_{n},}$

wobei

${\displaystyle g_{n}={\begin{cases}\lfloor x(3/2)^{n}\rfloor ,&{\text{ wenn }}x>0,\\\lceil x(3/2)^{n}\rceil ,&{\text{ wenn }}x<0,\end{cases}}}$

den Ganzzahlanteil bezeichnet und ${\displaystyle 0\leq |r_{n}|<1}$ der Nachkommaanteil ist.

${\displaystyle x}$ ist nun genau dann eine Z-Zahl, wenn die Nachkommaanteile ${\displaystyle |r_{n}|}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$ im Intervall

${\displaystyle 0\leq |r_{n}|<1/2}$

liegen. Die Vermutung ist nun, dass keine Z-Zahl existiert.

Mahler bewies, dass die Menge der Z-Zahlen höchstens abzählbar ist. Er zeigte folgendes Resultat^[2]

Für genügend große ${\displaystyle x>0}$ existieren höchstens ${\displaystyle x^{0.7}}$ positive Z-Zahlen im Intervall ${\displaystyle [0,x]}$, das bedeutet, dass für hinreichend große ${\displaystyle x}$ gilt

${\displaystyle \left|\{\alpha \in [0,x]\mid \alpha {\text{ ist eine Z-Zahl}}\}\right|\leq x^{0.7}}$.

Sein Beweis basiert auf der Tatsache, dass der Nachkommaanteil einer Z-Zahl (falls sie existiert) eine Erweiterung zur Basis ${\displaystyle 3/2}$ besitzt, die vollständig durch den Ganzzahlanteil der Zahl bestimmt wird.

2008 zeigten Shigeki Akiyama, Christiane Frougny und Jacques Sakarovitch (Korollar 4)^[3]

Die Menge der positiven Zahlen ${\displaystyle x>0}$, für die der Nachkommaanteil ${\displaystyle r_{n}:=\{x(3/2)^{n}\}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ in

${\displaystyle r_{n}\in [0,1/3)\cup [2/3,1)}$

liegt, ist abzählbar unendlich.

Hier bedeutet ${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor }$ der Nachkommateil der positiven Zahlen. Aus der Aussage folgt, dass es abzählbar unendlich viele ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gibt, so dass der Abstand von ${\displaystyle x(3/2)^{n}}$ zur nächsten ganzen Zahl für alle ${\displaystyle n\geq 0}$ kleiner als ${\displaystyle 1/3}$ ist:

${\displaystyle \|x(3/2)^{n}\|=\min \limits _{m\in \mathbb {Z} }|x(3/2)^{n}-m|<1/3\quad \forall n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Allgemeiner definiert man für eine reelle Zahl α die Größe Ω(α) als

${\displaystyle \Omega (\alpha )=\inf _{\theta >0}\left({\limsup _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\theta \alpha ^{n}}\right\rbrace -\liminf _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\theta \alpha ^{n}}\right\rbrace }\right).}$

Mahlers Vermutung würde somit implizieren, dass Ω(3/2) größer als 1/2 ist. Flatto, Lagarias und Pollington zeigten, dass

${\displaystyle \Omega \left({\frac {p}{q}}\right)>{\frac {1}{p}}}$

für rationale p/q > 1 in gekürzter Form gilt. Gekürzt bedeutet für den größten gemeinsamen Teiler gilt ${\displaystyle ggT(p,q)=1}$.

• Leopold Flatto, Jeffrey C. Lagarias, Andrew D. Pollington: On the range of fractional parts of ζ {(p/q)ⁿ}}. In: Acta Arithmetica. Band 70, Nr. 2, 1995, S. 125–147, doi:10.4064/aa-70-2-125-147.
• Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Band 104. American Mathematical Society, Providence RI 2003.