Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Ein Beobachter ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ bewege sich gegenüber dem Beobachter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ in Richtung der ${\displaystyle x}$-Achse. Für den Beobachter ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}'=(u_{x}^{\prime },u_{y}^{\prime },u_{z}^{\prime })\,.}$ Dann hat dieser Körper für den Beobachter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ mit den Komponenten

${\displaystyle u_{x}={\dfrac {u_{x}'+v}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle u_{y}={\dfrac {u_{y}'{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{y}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle u_{z}={\dfrac {u_{z}'{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{z}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}}$

mit

• der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ und
• dem Lorentz-Faktor ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Man kann diese Gleichungen einfacher formulieren, wenn man die Geschwindigkeiten auf ${\displaystyle c}$ normiert. Mit

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\frac {\vec {u}}{c}}\qquad {\vec {\beta }}'={\frac {{\vec {u}}'}{c}}\qquad \beta _{r}={\frac {v}{c}}}$

erhält man:

${\displaystyle \beta _{x}={\frac {\beta _{x}'+\beta _{r}}{1+\beta _{x}'\beta _{r}}}\qquad \beta _{y}={\frac {1}{\gamma }}\cdot {\frac {\beta _{y}'}{1+\beta _{x}'\beta _{r}}}\qquad \beta _{z}={\frac {1}{\gamma }}\cdot {\frac {\beta _{z}'}{1+\beta _{x}'\beta _{r}}}}$.

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ergibt sich, ausgehend von der galileischen einfachen Addition ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}'+{\vec {v}}}$ der Geschwindigkeiten ${\displaystyle {\vec {u}}'}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$, mit den folgenden Modifikationen:

• Die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ist um den Faktor ${\displaystyle 1+{\tfrac {{\vec {u}}'\cdot {\vec {v}}}{c^{2}}}}$ (bzw. ${\displaystyle 1+{{\vec {\beta }}'\cdot {\vec {\beta }}_{r}}}$) kleiner (hierbei ist ${\displaystyle {\vec {u}}'\cdot {\vec {v}}}$ das Skalarprodukt),
• Die Komponenten der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ senkrecht zu ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sind zusätzlich um den Faktor ${\displaystyle \gamma }$ kleiner.

Um das Formelbild zu vereinfachen, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt ${\displaystyle c=1.}$

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von ${\displaystyle v}$ durch ${\displaystyle -v}$)

${\displaystyle t={\frac {t'+v\,x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad x={\frac {x'+v\,t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad y=y'\ ,\quad z=z'}$

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} y=\mathrm {d} y'\ ,\quad \mathrm {d} z=\mathrm {d} z'\,.}$

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ermittelt,

${\displaystyle u_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}+v}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{x}'+v}{1+v\,u_{x}'}}\ ,}$

${\displaystyle u_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ ,}$

${\displaystyle u_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} z'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ .}$

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

${\displaystyle u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-v\,u_{x}}}\ ,\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-v\,u_{x}}}\ ,\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-v\,u_{x}}}\ .}$