Russellsche Antinomie

Russell bildete seine Antinomie mit Hilfe der „Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten“,^[1] die als Russellsche Klasse bezeichnet wird; er definierte sie formal folgendermaßen:^[2]

${\displaystyle R:=\{\,x\mid x\notin x\,\}}$

Oft wird die Russellsche Klasse auch als „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ definiert; das entspricht der damaligen Mengenlehre, die noch nicht zwischen Klassen und Mengen unterschied. Russell leitete seine Antinomie sinngemäß so ab:^[3] Angenommen,${\displaystyle \,R}$ enthalte sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft ${\displaystyle x\notin x}$, mit der${\displaystyle \,R}$ definiert wurde, dass${\displaystyle \,R}$ sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen, es gelte das Gegenteil und${\displaystyle \,R}$ enthalte sich nicht selbst, dann erfüllt${\displaystyle \,R}$ die Klasseneigenschaft, so dass${\displaystyle \,R}$ sich doch selbst enthält, entgegen der Annahme.

Die Russellsche Antinomie ist im Gegensatz zu den älteren Antinomien der naiven Mengenlehre (Burali-Forti-Paradoxon und Cantorsche Antinomien) ein Grundproblem der Klassenbildung und unabhängig von speziellen Mengenaxiomen. Zur Ableitung des Widerspruchs wird nur die Definition von ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und das Abstraktionsprinzip, das Russell in seine Typentheorie übernahm, benötigt:^[4][5]:

Abstraktionsprinzip

${\displaystyle \forall y:(y\in \{\,x\mid \varphi (x)\,\}\iff \varphi (y))}$

Angewendet auf ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ mit ${\displaystyle \varphi (x):=x\notin x}$ ergibt sich:

${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}\iff y\notin y}$

Wird nun ${\displaystyle y}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ersetzt, ergibt sich der Widerspruch:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}}}$ ↯

Trotz dieser Probleme hat sich die Mengenlehre als Grundlage für die Mathematik durchgesetzt.

Russell entdeckte sein Paradoxon Mitte 1901 bei der Beschäftigung mit der ersten Cantorschen Antinomie von 1897.^[7] Er veröffentlichte die Antinomie in seinem Buch The Principles of Mathematics 1903.^[8] Schon 1902 teilte er sie Gottlob Frege brieflich mit.^[9] Er bezog sich auf Freges ersten Band der Grundgesetze der Arithmetik von 1893, in der Frege die Arithmetik auf ein mengentheoretisches Axiomensystem aufzubauen versuchte. Die Russellsche Antinomie zeigte, dass dieses Axiomensystem widersprüchlich war. Frege reagierte darauf im Nachwort des zweiten Bands seiner Grundgesetze der Arithmetik von 1903:

Russell löste das Paradoxon bereits 1903 durch seine Typentheorie; in ihr hat eine Klasse stets einen höheren Typ als ihre Elemente; Aussagen wie „eine Klasse enthält sich selbst“, mit der er seine Antinomie bildete, lassen sich dann gar nicht mehr formulieren.^[11] Er versuchte also, da er an Freges Abstraktionsprinzip festhielt,^[12] das Problem durch eine eingeschränkte Syntax der zulässigen Klassen-Aussagen zu lösen. Die eingeschränkte Syntax erwies sich aber als kompliziert und unzulänglich zum Aufbau der Mathematik und hat sich nicht dauerhaft durchgesetzt.

Zermelo, der die Antinomie unabhängig von Russell fand und schon vor Russells Publikation kannte^[13], lehnte das Erstellen von Klassen mit dem Abstraktionsprinzip ab und stellte sieben Axiome zur Erzeugung von Mengen auf. Das dritte Axiom der Zermelo-Mengenlehre von 1907, das Aussonderungsaxiom, gestattet nur noch eine eingeschränkte Klassenbildung innerhalb einer gegebenen Menge. Er bewies mit Hilfe des Aussonderungsaxioms, dass es zu jeder Menge ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ Teilmengen gibt, die nicht Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ sind. Daraus folgerte er,

Zermelos Lösungsweg, die naive Mengenlehre durch eine axiomatische Mengenlehre zu präzisieren, hat sich durchgesetzt: Mengen können nur noch mit Hilfe der Axiome gebildet werden. Für die mit dem Abstraktionsprinzip generierten Objekte ist nun die Bezeichnung Klassen üblich, Beispiel:

Allklasse

${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\{x\mid x=x\}}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ist der Bereich, aus dem die Variablen interpretiert werden. Mengen sind Klassen, die Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ sind, Klassen, die nicht in ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ liegen, werden echte Klassen genannt. Im letzten Schritt der Herleitung der Russellschen Antinomie wird die Variable ${\displaystyle y}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ersetzt. Das ist aber nur zulässig, wenn ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ein Objekt aus dem Bereich der Variablen, also aus ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ist. Die korrekte Ersetzung der Variablen ${\displaystyle y}$ liefert also:

${\displaystyle {\color {red}{\mathcal {R}}\in {\mathcal {V}}}\Longrightarrow ({\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}})}$

Und das heißt:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {V}}}$

Die Russellsche Klasse ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ liegt nicht im Bereich der Variablen^[15]. Die Klassenbildung ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$ führt aus einem gegebenen Bereich heraus! Die Situation ist vergleichbar, mit der Subtraktion auf den natürlichen Zahlen: ${\displaystyle x-y}$ liegt außerhalb der natürlichen Zahlen, wenn ${\displaystyle x<y}$ gilt.

Anmerkung: Rein prädikatenlogisch gilt:

${\displaystyle \neg \exists x:\forall y:(y\in x\Longleftrightarrow y\notin y)}$

Denn gäbe es ein solches ${\displaystyle x}$, könnte es für ${\displaystyle y}$ eingesetzt werden und es käme zum Widerspruch ${\displaystyle x\in x\Longleftrightarrow x\notin x}$. Das heißt aber nicht, dass die Russellsche Klasse nicht existiert, sondern nur, dass es sie nicht im Bereich der Variablen gibt.

Die Grelling-Nelson-Antinomie von 1908 ist ein durch die Russellsche Antinomie inspiriertes semantisches Paradoxon.

Es gibt zahlreiche populäre Varianten der Russellschen Antinomie. Am bekanntesten ist das Barbier-Paradoxon, mit dem Russell selbst 1918 seinen Gedankengang veranschaulichte und verallgemeinerte.

Currys Paradoxon von 1942 enthält als Spezialfall eine Verallgemeinerung der Russellschen Antinomie.

• Abstraktionsprinzip

• Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= vieweg studium - Grundkurs Mathematik. Band 58). Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden 1985, ISBN 3-528-07258-X.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Band 6). 4. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8.
• Paul R. Halmos: Naive Set Theory. Reprint of the 1960 original published by Van Nostrand. Dover Publications, Mineola, NY 2017, ISBN 978-0-486-81487-2.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI Wissenschaftlicher Verlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.