Satz von Leray-Hirsch

Multiplikative Kohomologie-Theorien

Sei ${\displaystyle h^{*}}$ eine verallgemeinerte Kohomologie-Theorie auf der Kategorie der CW-Paare.

Eine multiplikative Struktur auf ${\displaystyle h^{*}}$ ist durch eine Familie ${\displaystyle \mu =\{\mu _{m,n}\}}$ von natürlichen Transformationen ${\displaystyle \mu _{m,n}\colon h^{n}(X,A)\otimes h^{m}(Y,B)\to h^{m+n}(X\times Y,A\times Y\cup _{A\times B}X\times B)}$ gegeben, sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:

• ${\displaystyle \mu }$ ist assoziativ in dem Sinne, dass für alle ${\displaystyle m,m',n\in \mathbb {N} }$ und CW-Paare ${\displaystyle (X,A),(X',A')}$ und ${\displaystyle (Y,B)}$ die Abbildungen ${\displaystyle \mu _{m',m+n}\circ (1\otimes \mu _{m,n})}$ und ${\displaystyle \mu _{m'+m,n}\circ (\mu _{m',m}\otimes 1)}$ auf ${\displaystyle h^{m'}(X',A')\otimes h^{m}(X,A)\otimes h^{n}(Y,B)}$ übereinstimmen.
• Es gibt ein Element ${\displaystyle 1\in h^{0}(\{*\})}$, sodass für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, für jedes CW-Paar ${\displaystyle (X,A)}$ und alle ${\displaystyle x\in h^{n}(X,A)}$ gilt ${\displaystyle \mu _{0,n}(1\otimes x)=\mu _{n,0}(x\otimes 1)=x}$.

• ${\displaystyle \mu }$ ist mit den Randabbildungen ${\displaystyle \partial ^{m}}$ der langen exakten Sequenz zu ${\displaystyle h^{*}}$ in dem Sinne (bis auf Vorzeichen) verträglich, dass für alle CW-Paare ${\displaystyle (X,A)}$ und ${\displaystyle (Y,B)}$ die folgenden Diagramme kommutieren:

Ringspektren

Nach dem Brownschen Darstellbarkeitssatz ist die verallgemeinerte Kohomologie-Theorie ${\displaystyle h^{*}}$ durch ein (${\displaystyle \Omega }$-)Spektrum ${\displaystyle E}$ gegeben, sodass ${\displaystyle h^{n}(X,A)=\operatorname {colim} _{k}[\Sigma ^{k}(X/A),E_{n+k}]_{*}}$ gilt. Falls ${\displaystyle E}$ ein Ringspektrum ist, so ist auf ${\displaystyle h^{*}}$ eine multiplikative Struktur gegeben.

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum ${\displaystyle E}$ mit einer Abbildung ${\displaystyle \mu \colon E\wedge E\to E}$, die Homotopie-assoziativ ist und eine Homotopie-Einheit hat. Das heißt, dass es eine Abbildung ${\displaystyle \iota \colon S^{0}\to E}$ gibt, sodass die folgenden Diagramme kommutieren:

Der Satz von Leray-Hirsch für multiplikative Kohomologie-Theorien

Sei ${\displaystyle h^{*}}$ eine multiplikative verallgemeinerte Kohomologie-Theorie auf der Kategorie der CW-Paare. Außerdem sei ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ein Faserbündel, ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ ein offener Unterraum und ${\displaystyle (F,F_{0})}$ ein Paar von Räumen, sodass für alle ${\displaystyle b\in B}$ ein Homöomorphismus ${\displaystyle j_{b}\colon (F,F_{0})\to (p^{-1}(b),p^{-1}(b)\cap E_{0})}$ gegeben ist.

Dann sei ${\displaystyle h^{*}(F,F_{0})}$ ein freier ${\displaystyle h^{*}(\{*\})}$-Modul und ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{r}\in h^{*}(E,E_{0})}$ so gewählt, dass ${\displaystyle \{j_{b}^{*}(a_{1}),\dots ,j_{b}^{*}(a_{r})\}}$ eine ${\displaystyle h^{*}(\{*\})}$-Basis von ${\displaystyle h^{*}(F,F_{0})}$ bildet. Dann ist ${\displaystyle h^{*}(E,E_{0})}$ ein freier ${\displaystyle h^{*}(B)}$-Modul mit Basis ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{r}\}}$, wobei die ${\displaystyle h^{*}(B)}$-Modul-Struktur auf ${\displaystyle h^{*}(E,E_{0})}$ durch ${\displaystyle h^{*}(B)\times h^{*}(E,E_{0})\to h^{*}(E,E_{0}),\;(\beta ,\gamma )\mapsto p^{*}(\beta )\cdot \gamma }$ gegeben ist.

Insbesondere ist die Abbildung

${\textstyle \Phi \colon h^{*}(B)\otimes _{h^{*}(\{*\})}h^{*}(F,F_{0})\to h^{*}(E,E_{0}),\;\Phi (\sum _{j}u_{j}\otimes j_{b}^{*}(a_{j}))=\sum _{j}p^{*}(u_{j})\cdot a_{j}}$

ein Isomorphismus von ${\displaystyle h^{*}(\{*\})}$-Moduln.