Schattennorm

Seien ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ separable Hilberträume und ${\displaystyle T}$ ein (linearer) kompakter Operator von ${\displaystyle H_{1}}$ nach ${\displaystyle H_{2}}$. Für ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ist die Schatten-p-Norm des Operators ${\displaystyle T}$ definiert durch:

${\displaystyle ||T||_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}.}$

Dabei sind ${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \dotsb \geq s_{n}(T)\geq \dotsb \geq 0}$ die Singulärwerte von ${\displaystyle T}$, das heißt die Eigenwerte des kompakten, hermiteschen Operators ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$. Aus dem Funktionalkalkül für den positiven Operator T*T folgt:

${\displaystyle ||T||_{p}^{p}=\operatorname {spur} (|T|^{p})}$.

Operatoren mit endlicher Schatten-Norm heißen Operatoren der Schatten-p-Klasse und der Raum solcher Operatoren wird mit ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ bezeichnet. Bezüglich der Schatten-Norm ist der Raum ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ ein Banachraum und für p=2 ist er der Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Die Schatten-Norm ist unitär invariant. Das heißt, für unitäre Operatoren ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ gilt:

${\displaystyle ||UTV||_{p}=||T||_{p}}$

Mittels der lässt sich zeigen, dass der Raum der Operatoren der Schatten-p-Klasse ein Ideal in B(H) ist. Man beachte, dass ${\displaystyle ||\ ||_{2}}$ die Hilbert-Schmidt-Norm ist (siehe Hilbert-Schmidt-Operator) und ${\displaystyle ||\ ||_{1}}$ die Spurklassennorm (siehe Nuklearer Operator).

• Matrixnorm

• Gert K. Pedersen (1988). Analysis Now. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96788-2.
• Reiji Tomatsu (2024) 作用素環論入門. Kyoritsushuppan. ISBN 978-4-320-11566-8.