Schnittebene
mathematischer Begriff aus der Geometrie
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Der Begriff Schnittebene hat in der Mathematik mehrere Bedeutungen. Zum einen bezeichnet er eine Ebene, die als Werkzeug verwendet wird, um einen Körper oder eine Fläche zu schneiden (wie bei einem Kegelschnitt).[1] Zum anderen kann damit diejenige Ebene gemeint sein, in der die Schnittkurve liegt, beispielsweise die Ebene, die den Schnittkreis zweier Kugeloberflächen enthält.
Die Schnittebene von zwei Kugeln
Schneiden sich zwei Kugeloberflächen in mehr als einem Punkt, so ist das Schnittgebilde ein Kreis, der Schnittkreis. Ein verbreitetes Vorgehen, um diesen zu bestimmen, besteht darin, zunächst die Ebene zu ermitteln, in welcher der Kreis liegt, welche in diesem Zusammenhang Schnittebene genannt wird. Danach schneidet man die Schnittebene mit der Verbindungsgeraden der Kugelmittelpunkte, um den Mittelpunkt des Schnittkreises zu bestimmen.
Zur Bestimmung der Schnittebene gibt es verschiedene Verfahren, die sich anbieten, je nachdem in welcher Form die Kugeln gegeben sind. Ein gängiges Verfahren der Schulmathematik besteht darin, zunächst die jeweilige Koordinatengleichungen
aufzustellen und auszumultiplizieren; dadurch erhält man zwei Gleichungen der Form
Zieht man nun die beiden Gleichungen voneinander ab, so fallen die quadratischen Terme weg und man erhält direkt die Schnittebene als Koordinatengleichung.[2]
Beispiel
Die Kugeln und mit den Mittelpunkten und sowie den Radien und haben die Gleichungen
- und .
Durch Ausmultiplizieren und Umstellen erhält man das Gleichungssystem
Die Subtraktion liefert die Gleichung der Schnittebene:
