Satz von Quillen-Suslin

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Hauptidealring. Dann ist jeder endlich erzeugte, projektive ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Modul frei.^[1][2]

Hauptidealring bedeutet hier, dass der Ring kommutativ, nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist. ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bezeichnet den Ring der Polynome in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten mit Koeffizienten aus ${\displaystyle R}$. Das umfasst damit die wichtigen Fälle des Polynomrings über einem Körper und über dem Ring der ganzen Zahlen.

Auf die Kommutativität des Ringes ${\displaystyle R}$ kann nicht verzichtet werden, denn M. Ojanguren und R. Sridharan haben für nicht-kommutative Divisionsringe ${\displaystyle D}$ gezeigt, dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]}$ ein nicht-freies, projektives Ideal ${\displaystyle P}$ enthält, so dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]\oplus P\cong D[X_{1},X_{2}]\oplus D[X_{1},X_{2}]}$.^[3]

Das unten angegebene Lehrbuch Serre’s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre-Problem. Jean-Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel, dass es nicht bekannt sei, ob es für einen Körper ${\displaystyle K}$ endlich-erzeugte, projektive, nicht-freie ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Moduln gäbe.^[4] Diese Frage ist dann als Serre-Vermutung oder, in Abgrenzung zu einer anderen Serre-Vermutung, als Serre-Problem bekannt geworden. Es ist dann 1976 unabhängig von Daniel Quillen^[5] und von Andrei Suslin^[6] gelöst worden und nun als Satz von Quillen-Suslin bekannt.^[7] Für dies und weitere wesentliche Beiträge zur Ringtheorie, insbesondere zur algebraischen K-Theorie, hat Quillen 1978 die Fields-Medaille erhalten.