Konstante von Somos

Die Konstante ${\displaystyle \sigma }$ ist definiert durch:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3{\sqrt {4{\sqrt {5\cdots }}}}}}}}}}}$

welches den folgenden Wert liefert:

${\displaystyle \sigma =1.661687949633594121296\dots \;}$^[1]

Die Definition der Konstante von Somos kann alternativ auch als unendliches Produkt gegeben werden:

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/2^{k}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\;4^{1/16}\dots }$

Dessen Konvergenz kann beschleunigt werden durch:

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\dots }$

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{1/2^{k}}}$

Eine weitere Produktdarstellung ist gegeben durch:^[2]

${\displaystyle \sigma =\prod _{n=1}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+n}{\binom {n}{k}}}}$

Summendarstellungen für ${\displaystyle \ln \sigma }$ enthalten:

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{2^{k}}}}$

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\text{Li}}_{k}\left({\tfrac {1}{2}}\right)}$

Integraldarstellungen für ${\displaystyle \ln \sigma }$ sind gegeben durch:^[2][3]

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(x-2)\ln x}}dx}$

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-x}{(2-xy)\ln(xy)}}dxdy}$

Die Konstante von Somos ${\displaystyle \sigma }$ tritt bei der Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der wie folgt definierten Folge auf.^[4]

${\displaystyle g_{0}=1}$

${\displaystyle g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n\geq 1}$

Die ersten Folgenglieder sind: 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, …

Diese Folge weist das folgende asymptotische Verhalten auf:^[2]

${\displaystyle g_{n}\sim {\sigma ^{2^{n}}}\left(n+2-n^{-1}+4n^{-2}-21n^{-3}+138n^{-4}+O(n^{-5})\right)^{-1}}$