Euklidischer Abstand

Punkte auf einer Geraden

Im einfachsten Fall liegen die beiden Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ auf einer Geraden, die zugleich die (einzige) Koordinatenachse bildet. Sie werden dann mit ihren Koordinaten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ identifiziert, die ihren jeweiligen vorzeichenbehafteten Abstand zum Ursprung angeben. Der Abstand der Punkte zueinander ist dann der Absolutbetrag ${\displaystyle |b-a|}$. Er lässt sich auch schreiben als

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(b-a)^{2}}}}$.

Punkte in einer Ebene

Zwei Punkte ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$ und ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$ lassen sich durch einen Hilfspunkt ${\displaystyle C}$ zu einem rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle \Delta ABC}$ ergänzen, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (siehe Skizze). Nach dem Satz des Pythagoras gilt ${\displaystyle |AB|^{2}=|AC|^{2}+|CB|^{2}}$. Hieraus erhält man mit ${\displaystyle |AC|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}}$ und ${\displaystyle |CB|^{2}=(b_{2}-a_{2})^{2}}$ nach dem Ziehen der Wurzel die Abstandsformel^[1]

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}$.

Punkte im Raum

Zur Herleitung einer Abstandsformel für zwei Punkte ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ des (dreidimensionalen) Raumes betrachtet man den Fußpunkt ${\displaystyle C}$ des Lotes von ${\displaystyle B}$ auf die Ebene, die parallel zur ${\displaystyle xy}$-Ebene verläuft und ${\displaystyle A}$ enthält (siehe Skizze).^[2] Der Abstand von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$ lässt sich nach der obigen Formel berechnen als ${\displaystyle |AC|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}$.

Die Strecke ${\displaystyle |BC|}$ steht senkrecht zur ${\displaystyle xy}$-Ebene, weshalb das Dreieck ${\displaystyle \Delta ABC}$ rechtwinklig ist mit der Hypotenuse ${\displaystyle |AB|}$ sowie den Katheten ${\displaystyle |AC|}$ und ${\displaystyle |BC|}$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt ${\displaystyle |AB|^{2}=|AC|^{2}+|CB|^{2}}$. Setzt man hier die Formel für ${\displaystyle |AC|}$ ein und zieht die Wurzel, so erhält man für die Punkte ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ die Abstandsformel^[1]

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.}$

Punkte in n-dimensionalen Räumen

Dieser Abstandsbegriff wird verallgemeinert, indem man den Abstand für zwei Punkte ${\displaystyle A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ und ${\displaystyle B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert als^[3]

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(b_{n}-a_{n})^{2}}}}$.

Dies ist die allgemeine Definition des euklidischen Abstands, wie er unter anderem in der linearen Algebra gebräuchlich ist.^[4] Sie enthält die oben angegebenen Formeln für Geraden, Ebenen und den Anschauungsraum als Spezialfälle (${\displaystyle n=1,2,3}$), ermöglicht aber auch die Messung von Abständen in höherdimensionalen Räumen, die sich der unmittelbaren Anschauung entziehen. Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung.