Klasse (Mengenlehre)

„Klasse“ ist der Oberbegriff, jede Menge ist eine Klasse. Klassen entsprechen dem naiven Mengenbegriff, der im Hauptartikel Menge (Mathematik) ausführlich beschrieben wird. Der gesamte Artikel bleibt richtig, wenn der Begriff „Menge“ durch „Klasse“ ersetzt wird.

Die wichtigste Art, Klassen zu definieren, erfolgt mit Hilfe des Klassenbildungsoperater und wird wie folgt notiert: ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$ (Klasse der Elemente ${\displaystyle x}$ auf die die Aussage ${\displaystyle \varphi (x)}$ zutrifft). Für Klassen gilt das

Abstraktionsprinzip:

${\displaystyle \forall y:(y\in \{x\mid \varphi (x)\}\iff \varphi (y))}$

Der naive Umgang mit Klassen führt aber leicht zu Problemen und Widersprüchen. Das zeigt die Russellschen Antinomie. Dazu folgende Definition:

Russelsche Klasse:

${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{x\mid x\notin x\}}$

(Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst enthalten)

(1) Mit dem Abstraktionsprinzip gilt: ${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}\iff y\notin y}$

(2a) Setzen wir ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ für ${\displaystyle y}$ ein folgt: ${\displaystyle {\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}}}$ Widerspruch ↯

Im Schritt (2a) wird Variable ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ersetzt. Das ist nur dann zulässig, wenn ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ im Variablenbereich ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ liegt. ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ kann wie folgt definiert werden:

Allklasse, Variablenbereich:

${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\{x\mid x=x\}}$

Die Ersetzung von ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sieht daher so aus:

(2b) ${\displaystyle {\mathcal {R}}\in {\mathcal {V}}\Longrightarrow ({\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}})}$

(3) Daraus folgt: ${\displaystyle {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {V}}}$

Der Klassenoperator ${\displaystyle \{x\mid \,\varphi (x)\}}$ führt also aus dem Variablenbereich heraus!

Mengen sind spezielle Klassen, und zwar solche, die im Variablenbereich liegen. Die Axiome der Mengenlehre stellen sicher, dass es die in der Mathematik benötigten Mengen gibt. Welche Klassen Mengen sind und welche nicht, ist vom Axiomensystem der gewählten Mengenlehre abhängig.

Klassen, die keine Mengen sind, heißen üblicherweise echte oder eigentliche^[2] Klassen. Das heißt, echte Klassen erfüllen gewisse Axiome der Mengenlehre nicht, wobei meist die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) gemeint sind, aber prinzipiell auch andere axiomatische Mengenlehren in Frage kommen. Zu den echten Klassen gehören insbesondere alle Klassen, die kein Element einer anderen Klasse oder Menge sein können, da zur Menge ${\displaystyle x}$ immer die Menge ${\displaystyle \{x\}}$ gebildet werden kann.

Beispiele für echte Klassen:

• Die Klasse aller Objekte, die sogenannte Allklasse: ${\displaystyle \{x\mid x=x\}}$. In der Mengenlehre ist dies die Klasse aller Mengen.
• Die Klasse aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, die sogenannte Russellsche Klasse: ${\displaystyle \{x\mid x\notin x\}}$. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) ist diese gleich der Allklasse.
• Die Klasse aller einelementigen Mengen.
• Die Klasse aller Ordinalzahlen.
• Die Klasse aller Kardinalzahlen.
• Die Klasse aller Objekte einer bestimmten Kategorie ist oft eine echte Klasse, zum Beispiel die Klasse aller Gruppen oder die Klasse aller Vektorräume über einem Körper. Aus dem Beispiel der Klasse aller einelementigen Mengen folgt, dass bereits die Klasse aller trivialen Gruppen eine echte Klasse ist. Aber da auch zu jeder Kardinalzahl eine Gruppe dieser Ordnung bzw. ein Vektorraum dieser Dimension existiert, gibt es auch keine äquivalente Unterkategorie, deren Objekte eine Menge bilden. Dagegen ist die volle Unterkategorie der Vektorräume ${\displaystyle K^{n}}$ für natürliche ${\displaystyle n}$ äquivalent zur Kategorie aller endlichdimensionalen Vektorräume.
• Die Klasse der surrealen Zahlen. Diese hat alle Eigenschaften eines Körpers, außer der Eigenschaft, eine Menge zu sein.
• Quine-Individuen mit ${\displaystyle \{x\}=x}$.^[3] Sie verletzen in der Mengenlehre das Fundierungsaxiom.

Informell kann man sagen, dass eine Klasse echt ist, wenn sie „zu groß“ ist, um eine Menge zu sein; daher spricht man auch inoffiziell von „Unmengen“ in Anspielung auf die umgangssprachliche Bedeutung einer unüberschaubaren Menge. So ist etwa die Klasse aller ganzen Zahlen eine Menge – zwar unendlich groß, aber doch handhabbar; die Klasse aller Gruppen hingegen, sowie die Klasse aller Mengen, sind „zu groß“ und daher echte Klassen.

Die Umkehrung, dass echte Klassen immer „zu große“ Klassen sind, gilt nicht unbedingt, denn es gibt in gewissen Mengenlehren auch kleine echte Klassen, wie das letzte Beispiel belegt. Besonders in Mengenlehren, wo das Aussonderungsschema nicht bedingungslos gilt, wie etwa der New Foundations, können echte Klassen sogar Teilmengen von Mengen sein.

Echte Klassen unterliegen nicht den Mengenaxiomen. Zum Beispiel verletzt die Potenz der Allklasse Cantors zweites Diagonalargument für Potenzmengen; diese Cantorsche Antinomie nützte Cantor zum indirekten Beweis dafür, dass die Allklasse keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Auch andere Paradoxa der naiven Mengenlehre beweisen indirekt, dass eine bestimmte Klasse echt ist: So wird das Burali-Forti-Paradoxon ein Beweis für die Echtheit der Klasse aller Ordinalzahlen und die Russellsche Antinomie ein Beweis für die Echtheit der Russellschen Klasse.

Virtuelle Klassen wurden von Willard Van Orman Quine eingeführt als Klassenformeln ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$, die keine selbständigen Terme sind, sondern Teilformeln in festgelegten logischen Kontexten.^[4] Diese Technik wandte er an, weil die ZF-Mengenlehre standardmäßig auf einer Prädikatenlogik mit Elementprädikat ${\displaystyle \in }$ aufgebaut wird und streng genommen keine Klassenterme der Form ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$ hat; diese sind dort nicht korrekt definierbar, weil als Objekte nur Elemente aus dem Bereich der Variablen zur Verfügung stehen.

Wird eine Klassenlogik zugrunde gelegt, wird die Bezeichnung virtuelle Klasse auch für echte Klassen bzw. für Klassen, die nicht im Bereich der Variablen liegen, verwendet.

Wählt man statt einer Prädikatenlogik eine Klassenlogik als Basis, dann wird jede beliebige Klasse ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$ zum korrekten, vollwertigen Term. Dies ist beispielsweise in der Oberschelp-Mengenlehre möglich, die eine Weiterentwicklung der Quine-Mengenlehre zu einer ZFC-Klassenlogik ist. Diese Basis kann man genauso auch für NBG wählen. Erst solche klassenlogischen Versionen der Mengenlehre bieten den optimalen Komfort für eine präzise Mengensprache, die der mathematischen Praxis in jeder Hinsicht gerecht wird.

Das Abstraktionsprinzip

${\displaystyle \forall y:(y\in \{x\mid \varphi (x)\}\iff \varphi (y))}$

regelt das Verhältnis zwischen der Elementbeziehung ${\displaystyle \in }$ und dem Klassenbildungsoperator ${\displaystyle \{x\mid ...\}}$. Wie beim Allquantor ${\displaystyle \forall x:...}$ und beim Existenzquantor ${\displaystyle \exists x:...}$ bezieht sich die (gebundene) Variable ${\displaystyle x}$ auf denselben Bereich, den Variablenbereich ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Steht ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ beispielsweise für die natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ so gilt nicht:

${\displaystyle \forall x:\forall y:x-y\in \mathbb {N} }$,

die Subtraktion führt aus dem gegebenen Bereich hinaus.

• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
• Willard Van Orman Quine: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik. Band 10). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-528-08294-1.