Wachstum (Gruppentheorie)

Es sei ${\displaystyle (V,E)}$ ein Graph und ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ein fest gewählter Knoten.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle a_{n}}$ die Anzahl der Knoten ${\displaystyle v\in V}$, für die es einen Weg aus maximal ${\displaystyle n}$ Kanten von ${\displaystyle v_{0}}$ nach ${\displaystyle v}$ gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$.

Es sei ${\displaystyle G}$ eine endlich erzeugte Gruppe und ${\displaystyle S}$ ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe ${\displaystyle G}$ bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für ${\displaystyle S}$.

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist ${\displaystyle S=\{s_{1},\dots ,s_{k}\}}$, so lässt sich jedes Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ als Wort ${\displaystyle g=s_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots s_{i_{m}}^{e_{m}}}$ schreiben, wobei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, die Indizes ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{m}}$ Elemente von ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ und die Exponenten ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{m}\in \mathbb {Z} }$ beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle a_{n}}$ die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle G}$, die eine solche Schreibung mit ${\displaystyle |e_{1}|+\dots +|e_{m}|\leq n}$ besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ${\displaystyle G}$ ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$.

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$, jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe ${\displaystyle G}$ und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

• Das Wachstum von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist linear.
• Das Wachstum von ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ist quadratisch.
• Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad ${\displaystyle \sum rk(L_{i}(G))}$, wobei ${\displaystyle L_{i}(G)}$ die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle rk(L_{i}(G))}$ ihr Rang sind (Bass-Guivarc‘h-Formel).
• Satz von Gromov: Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.^[1][2]
• Satz von Milnor-Wolf: Eine auflösbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum.
• Die Grigortschuk-Gruppe hat subexponentielles, aber nicht polynomielles Wachstum.^[3]
• Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell.
• Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung haben exponentielles Wachstum.^[4]

• J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

• M. Duchin: Counting in Groups: Fine Asymptotic Geometry, Notices of the American Mathematical Society, September 2016