User:ClemRutter/Sandbox

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Joseph Stott and Son

Stott and Sons section

• 10 feet 10 inches (3,300 mm) X 8 feet 11 inches (2,720 mm)
• 8 feet 0 inches (2,440 mm) X 8 feet 11 inches (2,720 mm)

• 12 feet 8 inches (3,860 mm) X 11 feet 9 inches (3,580 mm)
• 13 feet 5 inches (4,090 mm) X 11 feet 5 inches (3,480 mm)
• 3 metres (9 ft 10 in)

Can I remind everyone that each illustration (image) must illustrate (show) some fact in the text. This article is becoming a collection of nice pictures- and soon, the least relevant ones must go. Try to use the caption to explain what the image shows. --ClemRutter (talk) 17:33, 30 October 2012 (UTC)

Of course, this is just a simple example (and it does not necessarily correspond to the reality of printer troubleshooting), but even so, it demonstrates how decision tables can scale to several conditions with many possibilities.

Wenn die Transformationsparameter unbekannt sind, können sie über idente Punkte (also Punkte, deren Koordinaten vor und nach der Transformation bekannt sind) berechnet werden. Da insgesamt 7 Parameter (3 translation, 1 scale, 3 rotation) zu bestimmen sind, müssen zumindest 2 Punkte und von einem 3. Punkt eine Koordinate (z. B. die z-Koordinate) bekannt sein. Damit entsteht ein Gleichungssystem mit sieben Gleichungen und ebensovielen Unbekannten, das gelöst werden kann.

In der Praxis wird man bestrebt sein, mehr Punkte zu verwenden. Durch diese Überbestimmung erhält man erstens eine Kontrolle über die Richtigkeit der verwendeten Punkte und zweitens die Möglichkeit einer statistischen Beurteilung des Ergebnisses. Die Berechnung erfolgt in diesem Fall mit einer Ausgleichung nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate.

Um numerisch günstige Werte für die Berechnung der Transformationsparameter zu erhalten, werden die Berechnungen mit Koordinatendifferenzen, bezogen auf den Schwerpunkt der gegebenen Punkte, durchgeführt.

A special case is the two dimensionale Helmert-Transformation. Here, only four parameters are needed. (2 translations, 1 scaling, 1 rotation) these can be determined from two known points; if more points are available then checks can be made.

Die Helmerttransformation wird unter anderem in der Geodäsie angewendet, um Koordinaten der Punkte von einem Koordinatensystem in ein anderes zu transformieren. Damit ist z. B. die Umrechnung von Punkten der regionalen Landesvermessung in das für GPS-Ortungen benutzte WGS84 möglich.

Dabei werden die Gauß-Krüger-Koordinaten x,y plus der Höhe H schrittweise in 3D-Werte umgerechnet:

1. Berechnung der ellipsoidischen Breite, Länge und Höhe (B, L, H)
2. Berechnung von X, Y, Z bezüglich des Referenzellipsoides der Landesvermessung
3. 7-Parameter-Transformation (wodurch sich X, Y, Z fast gleichmäßig um maximal einige hundert Meter ändern und die Strecken um einige mm pro km).
4. Dadurch werden terrestrisch vermessene Positionen mit GPS-Daten vergleichbar; letztere können - in umgekehrter Reihenfolge transformiert - als neue Punkte in die Landesvermessung eingebracht werden.

Der 3. Schritt besteht in der Anwendung einer Drehmatrix, einer Multiplikation mit dem Maßstabsfaktor ${\displaystyle \mu =1+s}$ (nahe beim Wert 1) und einer Addition der 3 Verschiebungen dX, dY, dZ.

Die Koordinaten eines Referenzsystems B werden durch folgende Formel aus dem Referenzsystem A hergeleitet:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1+s&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1+s&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1+s\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}$

or for each single parameter of the coordinate:

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{B}=c_{x}+(1+s)\cdot X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A}\\Y_{B}=c_{y}+r_{z}\cdot X_{A}+(1+s)\cdot Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A}\\Z_{B}=c_{z}-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+(1+s)\cdot Z_{A}\\\end{matrix}}}$

For the reverse transformation, each element is multiplied by -1.

Die 7 Parameter werden für die jeweilige Region (Vermessungseparat, Bundesland etc.) mit 3 oder mehr "identischen Punkten" beider Systeme bestimmt. Bei Überbestimmung werden die kleinen Widersprüche (meist nur einige cm) durch Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen - das heißt, auf die statistisch plausibelste Weise beseitigt.

Bei den Beispielen handelt es sich um Standardparametersätze für die 7-Parameter-Transformation (oder: Datumstransformation) zwischen zwei Ellipsoiden. Für die Transformation in der Gegenrichtung muss bei allen Parametern das Vorzeichen geändert werden. Die Drehwinkel x, y und z werden manchmal auch als κ, φ und ω bezeichnet. Die Datumstransformation von WGS84 nach Bessel ist insofern interessant, als sich die GPS-Technologie auf den WGS84-Ellipsoiden bezieht, das in Deutschland verbreitete Gauß-Krüger-Koordinatensystem in der Regel jedoch auf den Ellipsoiden nach Bessel.

Da die Erde keine perfekte Ellipsoid-Form hat, sondern als Geoid beschrieben wird, genügt für eine Datumstransformation mit Vermessungsgenauigkeit der Standardparametersatz nicht. Die Geoidform der Erde wird stattdessen durch eine Vielzahl von Ellipsoiden beschrieben. Je nach tatsächlichem Standort werden die Parameter des "lokal bestangleichenden Ellipsoiden" verwendet. Diese Werte können stark von den Standardwerten abweichen, führen jedoch in der Transformationsrechnung in der Regel nur zu Änderungen des Ergebnisses im Zentimeterbereich.

Da sie nur einen Maßstabsfaktor kennt, kann die Helmert-Transformation als Ähnlichkeitstransformation nicht verwendet werden für:

• Die Entzerrung von Messbildern, Fotos
• Die Ausgleichung eines Papierverzugs beim Scannen von alten Plänen und Karten.

In diesen Fällen ist eine Affine Transformation zu verwenden.

Bezugssystem, Global Positioning System, Galileo, Ingenieurgeodäsie