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Cadran bifilaire horizontal

C'est le modèle qu'a découvert et étudié Hugo Michnik.
Un premier fil ${\displaystyle f_{1}\,}$ est orienté Nord-Sud et est situé à une distance constante ${\displaystyle h_{1}\,}$ du plan horizontal ${\displaystyle \Pi \,}$ du cadran.

Un second fil ${\displaystyle f_{2}\,}$ est orienté Est-Ouest et est situé à une distance constante ${\displaystyle h_{2}\,}$ du plan ${\displaystyle \Pi \,}$ (remarquer que ${\displaystyle f_{2}\,}$ est perpendiculaire à ${\displaystyle f_{1}\,}$ et est situé dans le plan du méridien).

Appelons respectivement ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})}$ et ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})}$ la projection des fils ${\displaystyle f_{1}\,}$ et ${\displaystyle f_{2}\,}$ sur le plan ${\displaystyle \Pi \,}$, et ${\displaystyle O\,}$ leur intersection.
Définissons pour axe des abscisses Ox la droite ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})}$ orientée vers l'Est, et pour axe des ordonnées Oy la droite ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})}$ orientée vers le Nord.

On peut montrer que si la position du soleil dans le ciel est connue et définie par ses coordonnées horaires ${\displaystyle t_{\odot }}$ et ${\displaystyle \delta \,}$ (respectivement angle horaire et déclinaison), alors les coordonnées ${\displaystyle x_{I}\,}$ et ${\displaystyle y_{I}\,}$ du point ${\displaystyle I\,}$, intersection des ombres des 2 fils sur le plan ${\displaystyle \Pi \,}$ du cadran, valent respectivement :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{I}&=&h_{1}{\frac {\sin t_{\odot }}{\sin \varphi \ \operatorname {tg} \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\\\ &\ &\ \\y_{I}&=&h_{2}{\frac {-\cos \varphi \ \operatorname {tg} \delta \ +\ \sin \varphi \cos t_{\odot }}{\sin \varphi \ \operatorname {tg} \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \varphi }$ étant la latitude du lieu où est situé le cadran.

En éliminant la variable ${\displaystyle \delta \,}$ entre les deux relations précédentes, on obtient une équation reliant ${\displaystyle x_{I}\,}$ et ${\displaystyle y_{I}\,}$ et qui donne, en fonction de la latitude ${\displaystyle \varphi }$ et de l'heure solaire (qui n'est autre que l'angle horaire ${\displaystyle t_{\odot }}$ du soleil), l'équation de la courbe horaire associée à une heure solaire donnée ; sous sa forme la plus simple à interpréter, cette équation peut s'écrire :

${\displaystyle {\frac {x_{I}}{y_{I}+h_{2}/\operatorname {tg} \varphi }}={\frac {h_{1}\sin \varphi }{h_{2}}}\ \operatorname {tg} t_{\odot }}$

Cette relation montre que les courbes horaires sont des segments de droite et que les droites qui les portent passent toutes par le point ${\displaystyle C\,}$ de coordonnées :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{C}&=&0\,\\\ &\ &\ \\y_{C}&=&-h_{2}/\operatorname {tg} \varphi \end{matrix}}}$

En outre, si l'on s'arrange pour que les deux hauteurs ${\displaystyle h_{2}\,}$ et ${\displaystyle h_{1}\,}$ soient telles que l'on ait :

${\displaystyle h_{2}=h_{1}\sin \varphi \quad }$

alors l'équation des lignes horaires s'écrit très simplement :

${\displaystyle {\frac {x_{I}-x_{C}}{y_{I}-y_{C}}}=\operatorname {tg} t_{\odot }}$,

ce qui signifie qu'à tout moment, l'intersection ${\displaystyle I\,}$ des ombres des 2 fils sur le plan ${\displaystyle \Pi \,}$ du cadran est telle que l'angle ${\displaystyle {\widehat {OCI}}}$ est égal à l'angle horaire ${\displaystyle t_{\odot }}$ du soleil et donc à l'heure solaire.

Ainsi, la particularité remarquable de ce type de cadran solaire bifilaire horizontal (qui respecte la condition ${\displaystyle h_{2}=h_{1}\sin \varphi \quad }$) est que les courbes horaires correspondant à une heure solaire donnée sont des demi-droites passant toutes par le point ${\displaystyle C\,}$ et que les 13 demi-droites correspondant aux heures successives 6h, 7h, 8h, 9h ... 15h, 16h, 17h, 18h sont régulièrement espacées d'un angle constant de 15°. Cette propriété s'appelle l'homogénéité des lignes horaires (suivant la terminologie proposée par Dominique Collin).

Un tel cadran bifilaire (horizontal et respectant la condition ${\displaystyle h_{2}=h_{1}\sin \varphi \quad }$) présente une autre propriété remarquable : il peut être déplacé le long d'un même parallèle (latitude constante) sans nécessiter la moindre modification dans le tracé des lignes horaires et des arcs diurnes.

Cadran bifilaire vertical

Dominique Collin a cherché à étudier toutes les variantes possibles de cadran bifilaire et s'est spécialement intéressé au cas d'un cadran bifilaire à plan vertical, puisque c'est, dans le cas des cadrans solaires classiques, le type le plus fréquent.

Il a établi que l'on peut concevoir un cadran bifilaire vertical dans lequel les fils sont, comme dans le cas particulier étudié par H. Michnik, parallèles au plan du cadran, sans être nécessairement orthogonaux ; plus précisément, il a montré que la propriété d'homogénéité des lignes horaires reste conservée si l'on respecte deux conditions qui s'expriment par deux formules mathématiques (liées entre elles) :

• l'une concerne l'angle que font entre elles les directions des deux fils (angle qui est droit dans le cas étudié par H. Michnik)
• l'autre concerne les distances respectives des 2 fils au cadran.

Les formules obtenues ne sont pas identiques à celles établies par Michnik, même si l'on choisit de garder les fils perpendiculaires entre eux (ce qui s'explique par le fait de la position différente du cadran dans l'espace).

Ce cadran bifilaire généralisé peut être posé sur un mur vertical d'orientation quelconque mais, en ce qui concerne le tracé des lignes horaires homogènes, Dominique Collin suggère de ne les dessiner que si ce mur est orienté à peu près vers le sud (cadran vertical pas trop déclinant) ; sinon, outre que le tracé général est peu esthétique, la lecture de l'intersection des ombres des 2 fils est trop imprécise.

Cadran bifilaire incliné déclinant

Ce type de cadran n'a pas été étudié de façon aussi systématique que celui des cadrans verticaux mais il semble, d'après F. W. Sawyer (voir la référence ci-dessous) que l'on puisse conserver la propriété d'homogénéité des lignes horaires : il existe, comme dans le cas des cadrans bifilaire verticaux, deux relations à respecter portant sur l'orientation et la position des fils, mais celles-ci restent toutefois à établir...

Bibliographie

• H. Michnik, Theorie einer Bifilar-Sonnenuhr, Astronomishe Nachrichten, 217(5190), p.81-90, 1923
• Frederick W. Sawyer, Bifilar gnomonics, JBAA (Journal of the British Astronomical association), 88(4):334–351, 1978
• D. Collin. Les cadrans solaires verticaux à deux gnomons rectilignes quelconques [généralisation des cadrans bifilaires de Michnik], Observations & Travaux, n°55, pp.12–31, décembre 2003.

Voir aussi

Articles connexes

• Cadran solaire

Liens externes

• (in French) Les Cadrans de Constant, Exemples de cadrans bifilaires

Catégorie:Cadran solaire

Bifilaire Sonnenuhr

miniatur|Horizontale Bifilar-Sonnenuhr mit homogenen Stundenlinien [[Datei:Bifilar-Sonnenuhr.jpg|miniatur|Horizontale Bifilar-Sonnenuhr mit homogenen Stundenlinien (Nachmittag), φ = 47°, N/S-Faden = Blech-Oberkante,
Sonnen/Schatten-Strahlen markiert
(rot: Tagesbahn (Sommersonnenwende), grün: Stundenlinie (II Uhr))]] Die Bifilar-Sonnenuhr ist eine Sonnenuhren-Bauart, die der Mathematiklehrer Hugo Michnik 1922 vorstellte.^[1] Als Schattenwerfer dienen zwei sich kreuzende, aber nicht schneidende Stäbe oder Fäden – Michnik nannte diese Sonnenuhr deshalb Bifilar-Sonnenuhr. Die Uhrzeit wird auf dem Zifferblatt vom Schnittpunkt der beiden Linienschatten angezeigt. Die hier angewendete Projektion ist eine Verallgemeinerung der bei Sonnenuhren mit Nodus als Schattenwerfer zugrunde liegenden gnomonischen Projektion.

Michnik zeigte, dass das Bifilar-Prinzip für alle von Nodus-Sonnenuhren bekannten Möglichkeiten der Anzeige geeignet ist, also

• für den Stundenwinkel der Sonne als Uhrzeit,
• für die Deklination der Sonne, weil der Tagbogen als Funktion der Jahreszeit ersichtlich ist,
• für die Anzeige von Sternzeit, babylonischer und italienischer Stunden
• sowie für die Anzeige temporaler Stunden.

Die am häufigsten gebaute Bifilar-Sonnenuhr ist jene mit homogenen Stundenlinien (siehe Abbildungen). Die Verlagerung der Schattenbildung vom Punkt (Nodus) auf zwei relativ zueinander und zum Zifferblatt in vielfältiger Weise positionierbarer Fäden erlaubt, eine Anordnung zu finden, bei denen die Stundenlinien wie die Großkreise mit der Sonne am Himmel in 15°-Winkelschritten aufeinander folgen. Beide Fäden sind zum Zifferblatt parallel. Der nähere Faden (Abstand ${\displaystyle g}$) hat Ost-West-Ausrichtung, der entferntere (Abstand ${\displaystyle g_{1}}$) bildet mit dem näheren in der orthogonalen Parallelprojektion auf das Zifferblatt einen rechten Winkel. Die bereits von Michnik für homogene Stundenlinien angegebene Bedingung lautet:

${\displaystyle {\frac {g}{g_{1}}}=\sin \varphi }$ .

Hierbei ist ${\displaystyle \varphi }$ ist die geografische Breite des Aufstellungsortes der Sonnenuhr.

Die Vielfalt, wie sich die Fäden anordnen lassen, ist Anreiz für eine große Zahl experimenteller Bifilar-Sonnenuhren. In der Regel wird damit eine bestimmte einzelne Anzeige möglich, nicht aber eine einfach anzufertigende Sonnenuhr geschaffen, die universell wie auch die Bifilar-Sonnenuhr mit homogenen Stundenlinien ist.^[2] Letztere hat gegenüber der Sonnenuhr mit Nodus den Nachteil der größeren Ost-West-Ausdehnung. Wegen der damit verbunden früheren Unschärfe des Schattenkreuzes ist die Anzeige am Morgen und am Abend eingeschränkter als bei der mit Nodus.^[3]

Einzelnachweise

de:Vorlage:Navigationsleiste Sonnenuhren Kategorie:Sonnenuhr

Reloj

The bi-filar sundial is typically a horizontal sundial with two wires passing over it, the intersection of the shadows thrown by these wires indicates the time. This replaces the conventional gnomon. The dial was invented in 1922 by the german mathematician Hugo Michnik.^[1] The first design published in his paper, showed two rods that crossed orthogonally (one going north south, and the other east west): he used the methods of analytical geometry to derive the equations for the shadow and the lines on the base-plate. Later he realised the method could be extended and the equations could be generalised .^[2] An interesting property of this dial is that base plate markings become that of a Equatorial sundial when the ratio of wires is the same as the sine of the latitude.

Developments

After the original discovery, numerous mathematical studies have been made into the properties of bifilar sundials: changing the position of the wires so they are non-orthogonal, and the positioning of the base-plate from horizontal to vertical. The introduction of computers has created new interest amongst mathematicians in investigating the properties of these dials.

Horizontal bifilar sundial

The Horizontal bifilar sundial was the first dial investigated by Hugo Michnik in 1922. The first wire is at a constant height of ${\displaystyle g_{1}\,}$ above the horizontal plane. ${\displaystyle \pi \,}$ del cuadrante solar, and is orientated in a North/South direction parallel to the meridian. The second wire is at a constant height of ${\displaystyle g_{2}\,}$ above the horizontal plane.${\displaystyle \pi \,}$ and is orientated perpendicular to the first, that is to say, orthoganlly in a east-west dirrection.

y que pasa simultáneamente por la intersección de los hilos.

The suns ray's are expressed using the horizontal coordinate system y su disposición a lo largo del día se expresa en función del ángulo horario ${\displaystyle t_{\odot }}$ y la solar declination ${\displaystyle \delta }$. Es evidente que la intersección de este rayo con el plano del cuadrante del reloj proporciona un punto ${\displaystyle (I)}$ de coordenadas ${\displaystyle (x_{I},y_{I})}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{I}&=&g_{1}\textstyle {\frac {\sin t_{\odot }}{\sin \varphi \ \tan \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\\\ &\ &\ \\y_{I}&=&g_{2}\textstyle {\frac {-\cos \varphi \ \tan \delta \ +\ \sin \varphi \cos t_{\odot }}{\sin \varphi \ \tan \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\end{matrix}}}$

De estas dos fórmulas se puede despejar aquellos términos que contienen la ${\displaystyle \tan \delta }$ y se resumen en una sola ecuación escrita como:

${\displaystyle {\frac {x_{I}}{y_{I}+g_{2}/\tan \varphi }}={\frac {g_{1}\sin \varphi }{h_{2}}}\ \tan t_{\odot }}$

Esta relación, debido a la proporcionalidad lineal entre las coordenadas ${\displaystyle x_{I}}$ y ${\displaystyle y_{I}}$muestra que las curvas horarias de este reloj son líneas rectas que pasan por el punto ${\displaystyle C\,}$ de coordenadas:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{C}&=&0\,\\\ &\ &\ \\y_{C}&=&-g_{2}/\tan \varphi \end{matrix}}}$

Cuadrante bifilar horizontal

Este fue el primer desarrollo realizado por Hugo Michnik en 1922, el reloj se compone de dos hilos tirantes rectos. Un primer hilo se encuentra elevado a una cota constante ${\displaystyle g_{1}\,}$ del plano horizontal ${\displaystyle \pi \,}$ del cuadrante solar, y se orienta en la dirección Norte-Sur paralela al meridiano del lugar. Un segundo hilo se siua a una cota constante ${\displaystyle g_{2}\,}$ del plano horizontal ${\displaystyle \pi \,}$ del cuadrante solar y está orientado perpendicularmente al anterior, es decir siguiendo la dirección Este-Oeste. El problema a resolver es encontrar una línea recta que representa el rayo solar y que pasa simultáneamente por la intersección de los hilos.

Este rayo solar se expresa en coordenadas horizontales y su disposición a lo largo del día se expresa en función del ángulo horario ${\displaystyle t_{\odot }}$ y la declinación solar ${\displaystyle \delta }$. Es evidente que la intersección de este rayo con el plano del cuadrante del reloj proporciona un punto I de coordenadas ${\displaystyle (x_{I},y_{I})}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{I}&=&g_{1}\textstyle {\frac {\sin t_{\odot }}{\sin \varphi \ \tan \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\\\ &\ &\ \\y_{I}&=&g_{2}\textstyle {\frac {-\cos \varphi \ \tan \delta \ +\ \operatorname {sen} \varphi \cos t_{\odot }}{\sin \varphi \ \tan \delta \ +\ \cos \varphi \cos t_{\odot }}}\end{matrix}}}$

De estas dos fórmulas se puede despejar aquellos términos que contienen la ${\displaystyle \tan \delta }$ y se resumen en una sola ecuación escrita como:

${\displaystyle {\frac {x_{I}}{y_{I}+g_{2}/\tan \varphi }}={\frac {g_{1}\sin \varphi }{h_{2}}}\ \tan t_{\odot }}$

Esta relación, debido a la proporcionalidad lineal entre las coordenadas ${\displaystyle x_{I}}$ y ${\displaystyle y_{I}}$muestra que las curvas horarias de este reloj son líneas rectas que pasan por el punto ${\displaystyle C\,}$ de coordenadas:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{C}&=&0\,\\\ &\ &\ \\y_{C}&=&-g_{2}/\tan \varphi \end{matrix}}}$

Referencias

Véase también

• Historia de la gnomónica

Bifilar