Asignación cardinal
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En la teoría de conjuntos, el concepto de cardinalidad se puede desarrollar de manera significativa sin recurrir a definir los números cardinales como objetos en la teoría misma. Esta perspectiva, adoptada por Gottlob Frege, considera los cardinales de Frege como clases de equivalencia en todo el universo de conjuntos, definidas por equinumerosidad.
Los conceptos relacionados con la cardinalidad se desarrollan mediante la definición de equinumerosidad en términos de funciones y los conceptos de función inyectiva y función sobreyectiva, que representan la inyectividad y sobreyectividad respectivamente. Esto nos permite establecer una relación de cuasi-orden:
Esta relación nos permite comparar tamaños de conjuntos sin la necesidad de definir los números cardinales como objetos separados. Cabe destacar que esta relación no es un verdadero orden parcial, ya que la antisimetría no es necesaria. Si tanto como , el teorema de Cantor-Bernstein-Schröeder garantiza que , es decir, y son equinumerosos, pero no necesariamente iguales en el sentido tradicional.
Asignación Cardinal
El objetivo de una asignación cardinal es asignar a cada conjunto un conjunto específico y único que dependa solo de la cardinalidad de . Esto concuerda con la visión original de Georg Cantor sobre los cardinales: tomar un conjunto y abstraer sus elementos en "unidades" canónicas. Luego, se recopilan estas unidades en otro conjunto de manera que lo único especial acerca de este conjunto sea su tamaño. Estos conjuntos de unidades estarían totalmente ordenados por la relación , y la igualdad sería una verdadera igualdad.
Sin embargo, en la práctica, esta perspectiva a menudo se considera un ejercicio en elegancia matemática, ya que no agrega un valor sustancial a menos que se desee evitar el uso de subíndices. Existen diversas aplicaciones valiosas de los "verdaderos" números cardinales en diversos modelos de teoría de conjuntos.
