Billar de Artin

El movimiento estudiado es el de una partícula libre deslizándose sin fricción, de modo que el hamiltoniano es:

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

donde m es la masa de la partícula, ${\displaystyle q^{i},i=1,2}$ son las coordenadas en la variedad, ${\displaystyle p_{i}}$ son los momento conjugados:

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

y

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)\,dq^{i}\,dq^{j}}$

es el tensor métrico en la variedad. Debido a esto, el hamiltoniano de la partícula libre, la solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi están simplemente dadas por las geodésicas de la variedad

En el caso del billar de Artin, la métrica está dada por la métrica canónica de Poincaré.

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dy^{2}}{y^{2}}}}$

En la mitad superior del plano. La superficie de Riemann no compacta ${\displaystyle {\mathcal {H}}/\Gamma }$ es un espacio simétrico, y está definido como el cociente de la mitad del plano superior modulo la acción de los elementos de ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ actuando como transformaciones de Möbius. El conjunto

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

es el dominio fundamental de esta acción.

Esta variación tiene, por supuesto, una cúspide. Esta es la misma variedad, cuando se toma como una variedad compleja, esto es, un espacio en donde las curvas elípticas y las funciones modulares son estudiadas

• E. Artin, "Ein mechanisches Sistema mit quasi-ergodischen Bahnen", Abh. Matemática. Sem. d. Hamburgischen Universität, 3 (1924) pp170-175.