Bimomento

El bimomento puede considerarse un esfuerzo interno generalizado conjugado del alabeo φ (función de alabeo). Para comprobar eso puede bastar examinar la expresión de la energía de deformación para un prisma mecánico sometido a flexo-torsión:

${\displaystyle e_{def}=e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr}\;}$

Donde cada uno de los términos anteriores se expresa en términos de los desplazamientos generalizados del eje baricéntrico y las derivadas de estos desplazamientos. Es inmediato comprobar que:

${\displaystyle B_{\omega }={\frac {\partial e_{def}}{\partial (d\varphi /dx)}}=0+{\frac {\partial e_{tor}}{\partial (d\varphi /dx)}}+0=EI_{\omega }{\frac {d\varphi }{dx}}}$

Donde se ha usado que sólo el término de energía desacoplado de torsión viene dado por:

${\displaystyle e_{tor}={\frac {1}{2}}\left[GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\kappa }{1-\kappa }}GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)^{2}+EI_{\omega }\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\right]}$

El bimomento puede ser calculado a partir de las solicitaciones por unidad de longitud, a partir del sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d\varphi }{dx}}={\cfrac {B_{\omega }}{EI_{\omega }}}\\{\cfrac {dB_{\omega }}{dx}}=\kappa _{0}GJ\varphi -\phi (x;Q_{y},Q_{z},M_{x})\end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle J,I_{\omega }\;}$, son respectivamente el módulo de torsión, el módulo de alabeo

${\displaystyle \kappa _{0}:=1-J/(I_{y}+I_{z})\;}$, se calcula a partir del módulo de torsión y el momento de inercia polar o suma de momentos de inercia principales.

Derivando la segunda de estas ecuaciones y substituyendo en ella la primera relación se llega a una ecuación de segundo orden para el bimomento:

${\displaystyle {\frac {d^{2}B_{\omega }}{dx^{2}}}-\kappa _{0}{\frac {GJ}{EI_{\omega }}}B_{\omega }=-{\frac {d\phi }{dx}}}$

Donde la función ${\displaystyle \phi (x)\;}$ que aparece en el sistema anterior viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi (x)=(1-\kappa _{0})(z_{C}Q_{y}-y_{C}Q_{z}-M_{x})-M_{x}-b_{\omega }\\{\cfrac {d\phi }{dx}}=(1-\kappa _{0})(-z_{C}q_{y}+y_{C}q_{z}-m_{x})-m_{x}-{\cfrac {db_{\omega }}{dx}}\end{cases}}}$

Donde (y_C, z_C) son las coordenadas del centro de cortante y q_y, q_z, m_x y b_ω son esfuerzos por unidad de longitud que se pueden expresar a partir de la integral sobre el perímetro de la sección de las cargas superficiales que actúan sobre el prisma mecánico:

${\displaystyle {\begin{cases}q_{y}(x)=\int _{P}f_{y}(x,{\bar {s}})d{\bar {s}}&\qquad m_{x}(x)=\int _{P}[-(z-z_{C})f_{y}+(y-y_{C})f_{z}]d{\bar {s}}\\q_{z}(x)=\int _{P}f_{z}(x,{\bar {s}})d{\bar {s}}&\qquad b_{\omega }(x)=\int _{P}\omega f_{x}(x,{\bar {s}})d{\bar {s}}\end{cases}}}$

Si no hay fuerzas de superficie en la dirección del eje baricéntrico (f_x = 0) ni momentos torsores distribuidos y además el centro de cortante coincide con el baricentro, tal como sucede en un buen número de casos prácticos, entonces ${\displaystyle \phi (x)=cte.\;}$ y la ecuación diferencial para el bimomento resulta ser una ecuación diferencial homogénea de muy sencilla resolución.

• Alabeo seccional
• Módulo de torsión, Momento de alabeo

• Monleón Cremades, Salvador, Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Universidad Politécnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6