Círculo generalizado

El plano euclídeo extendido se puede identificar con la esfera de Riemann, de modo que las ecuaciones de números complejos se pueden utilizar para describir rectas, circunferencias e inversiones.

Una circunferencia ${\displaystyle \Gamma }$ es el conjunto de puntos ${\displaystyle z}$ en un plano que se encuentran a una distancia de un radio ${\displaystyle r}$ desde un punto central ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{la distancia entre}}\;z\;{\text{y}}\;\gamma \;{\text{es}}\;r\}}$

En el plano complejo, ${\displaystyle \gamma }$ es un número complejo y ${\displaystyle \Gamma }$ es un conjunto de números complejos. Usando la propiedad de que un número complejo multiplicado por su conjugado es el cuadrado de su módulo (su distancia euclidiana desde el origen), una función implícita para ${\displaystyle \Gamma }$ es:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

Esta es una ecuación homogénea polinómica con dos variables en términos de la variable compleja ${\displaystyle z}$ y su conjugado ${\displaystyle {\bar {z}}}$, que adopta la forma

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

donde los coeficientes ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle D}$ son números reales, y ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C}$ son conjugados.

Al dividir por ${\displaystyle A}$ y luego invertir los pasos anteriores, el radio ${\displaystyle r}$ y el centro ${\displaystyle \gamma }$ se pueden recuperar de cualquier ecuación de esta forma. La ecuación representa un círculo generalizado en el plano cuando ${\displaystyle r}$ es real, lo que ocurre cuando ${\displaystyle AD<BC}$, de modo que el radio al cuadrado ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ es positivo. Cuando ${\displaystyle A}$ es cero, la ecuación define una línea recta.

Que la transformación recíproca ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$ asigna círculos generalizados a círculos generalizados es sencillo de verificar:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

Las líneas rectas que pasan por el origen (${\displaystyle A=D=0}$) se asignan a líneas que pasan por el origen; las líneas que no pasan por el origen (${\displaystyle A=0,D\neq 0}$) se asignan a circunferencias que pasan por el origen; las circunferencias a través del origen (${\displaystyle A\neq 0,D=0}$) se transforman en líneas rectas que no pasan por el origen; y las circunferencias que no pasan por el origen (${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$) se asignan a circunferencias que no pasan por el origen.

La ecuación definitoria de un círculo generalizado

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

se puede escribir como una ecuación matricial

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

Simbólicamente,

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

con coeficientes colocados en una matriz hermitiana invertible ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ que representa el círculo y ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$ un vector que representa un número complejo extendido.

Dos de estas matrices especifican el mismo círculo generalizado si y solo si, una es un múltiplo escalar de la otra.

Para transformar el círculo generalizado representado por ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ mediante una transformación de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ se debe aplicar la inversa de la transformación de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ al vector ${\displaystyle \mathbf {z} }$ en la ecuación implícita:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

Entonces, la nueva circunferencia puede representarse mediante la matriz ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

• Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Dover Publications, 1979
• Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete" (Geometría moderna: no euclidiana, proyectiva y discreta), 2ª edición, Prentice Hall, 2001
• David W. Lyons (2021) Geometría de Möbius en LibreTexts