Cardinal límite

Una manera de construir cardinales límite es mediante la operación de unión. Por ejemplo, álef omega ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los álef más pequeños que él (recuérdese que un número cardinal puede concebirse como un conjunto transitivo); y en general ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ para cualquier ordinal límite es un cardinal límite débil.

La función ב puede usarse para obtener cardinales límite fuertes. Esta función se define como una aplicación de los ordinales en los cardinales mediante la siguiente definición recursiva:

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$ (es el ordinal no numerable más pequeño)

Si λ es un oridinal límite, ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

El cardinal

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. Más en general, dado cualquier ordinal α, el cardinal

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

es un cardinal límite fuerte. Y por tanto, existen cardinales límite fuerte arbitrariamente grandes.

• Cardinal inaccesible
• Cardinal regular

• Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to Set Theory (3 edición), ISBN 0-8247-7915-0 .
• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7, doi:10.1007/3-540-44761-X .
• Kunen, Kenneth (1980), Set theory: An introduction to independence proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8 .

• Infinite ink on cardinals