Constante omega

La identidad definitoria se puede expresar, por ejemplo, como ${\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .}$

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}$${\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }$

Ω puede calcularse de forma iterativa, empezando con una estimación inicial Ω₀ y considerando la secuencia

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}$

Esta secuencia converge a Ω mientras n se acerca al infinito, ya que Ω es un punto fijo atractivo de la función e^−x .

Es mucho más eficiente usar la iteración

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

ya que la función

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

además de tener el mismo punto fijo, su derivada se desvanece en ese punto. Esto garantiza una convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos con cada iteración se duplica aproximadamente.

Usando el método de Halley, Ω se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos con cada iteración se triplica aproximadamente): (ver también Función W de Lambert ).

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}$

La constante omega se puede representar como la siguiente integral indefinida dada por Victor Adamchik^{[cita requerida]}:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

Otras relaciones por Mező y Kalugin-Jeffrey-Corless son:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Las dos últimas identidades se pueden extender a otros valores de la función W (ver también Función W de Lambert: Representaciones).

La constante Ω es trascendental . Esto se puede interpretar como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass .

Si por contradicción, suponemos que Ω es algebraico. Según este teorema, e^−Ω es trascendental, pero sabemos que Ω = e^−Ω. Esto es una contradicción. Por tanto, debe ser trascendental.

• Weisstein, Eric W. «Omega Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• 1.000.000 de dígitos de la Constante Omega:, consultado el 25 de diciembre de 2017 .