Constante zeta

En cero, se tiene:

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$

La función zeta tiene un único polo en 1:

${\displaystyle \zeta (1)=\infty .}$

Siendo el valor de su residuo en este punto la unidad:

${\displaystyle Res(\zeta (s),1)=1}$

Además, en el infinito, su valor es la unidad:

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }\zeta (s)=1}$

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Para los números pares, el valor de la función zeta está relacionado con los números de Bernoulli, esta relación fue dada por Euler:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

para ${\displaystyle n\geq 1}$. Los primeros valores son:

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots }$; la demostración de esta igualdad es la solución del Problema de Basilea.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots }$; Ley de Stefan-Boltzmann y aproximación de Wien usadas en física.

${\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots }$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots }$

${\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots }$

${\displaystyle \zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }$

${\displaystyle \zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }$

La relación entre las constantes zeta en los enteros positivos pares y los números de Bernoulli se puede escribir como:

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,}$

Donde ${\displaystyle A_{n}}$ y ${\displaystyle B_{n}}$ son enteros para todo 'n' par. Algunos de los valores de los coeficientes aquí definidos son:

2n	A	B
2	6	1
4	90	1
6	945	1
8	9450	1
10	93555	1
12	638512875	691
14	18243225	2
16	325641566250	3617
18	38979295480125	43867
20	1531329465290625	174611
22	13447856940643125	155366
24	201919571963756521875	236364091
26	11094481976030578125	1315862
28	564653660170076273671875	6785560294
30	5660878804669082674070015625	6892673020804
32	62490220571022341207266406250	7709321041217
34	12130454581433748587292890625	151628697551

Sea ${\displaystyle \eta _{n}}$ el coeficiente ${\displaystyle B_{n}/A_{n}}$ definido arriba.

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},}$

se obtiene de forma recursiva,

${\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}};}$

${\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.}$

Esta relación de recurrencia puede obtenerse de la relación de recurrencia de los números de Bernoulli.

La serie de constantes zeta para números pares positivos puede obtenerse del desarrollo en serie de Laurent de la función cotangente desarrollada en torno a 0.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cot(\pi x)={\frac {1}{2}}x^{-1}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}x-{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{3}-{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{5}+...}$

A los primeros números impares positivos les corresponden las siguientes constantes zeta:

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$; esta es la serie armónica.

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots }$; a esta constante zeta se la conoce como constante de Apéry

${\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots }$

${\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots }$

${\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots }$

Se sabe que ζ(3) es irracional (teorema de Apéry) y que la serie ζ(2n+1) (n ∈ N) contiene infinitos valores irracionales. Existen también resultados sobre la irracionalidad de ciertos conjuntos de constantes zeta asociadas a impares positivos. Por ejemplo: Al menos uno de ζ(5), ζ(7), ζ(9), o ζ(11) es irracional.

La mayoría de las identidades mostradas más abajo fueron dadas por Simon Plouffe. Es de destacar su rápida convergencia de al menos tres dígitos por iteración, siendo usadas por ello para cálculos de gran precisión.

Plouffe da las igualdades

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

y

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Nótese que la suma es de la forma de las series de Lambert.

Definiendo las cantidades:

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$

una serie de relaciones pueden ser dadas de la forma:

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)\,}$

donde ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ y ${\displaystyle D_{n}}$ son enteros positivos. Plouffe da una tabla de valores:

n	A	B	C	D
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Estas constantes enteras pueden ser expresadas como sumas sobre números de Bernoulli (Vepstas, 2006).

En general, para los enteros negativos, se tiene:

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

para ${\displaystyle n\geq 1}$.

Los "ceros triviales" de la función zeta se dan todos sobre los enteros negativos pares:

${\displaystyle \zeta (-2n)=0.\,}$

Las primeras pocas constantes zeta asociadas a los menores enteros negativos impares son:

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}}$

${\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}}$

${\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}$

Sin embargo, como ocurre con los números de Bernoulli, al aumentar n, aumenta el módulo de estas constantes zeta.