Convexidad logarítmica

En matemáticas, una función ${\displaystyle f}$ definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es logarítmicamente convexa si ${\displaystyle \log f(x)\,}$ es una función convexa de ${\displaystyle x\,}$.

Una función logarítmicamente convexa ${\displaystyle f\,}$ es convexa, porque es composición de dos funciones convexas, ${\displaystyle \exp \,}$ y ${\displaystyle \log f\,}$. La afirmación recíproca no siempre es cierta. Por ejemplo, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ es convexa, pero ${\displaystyle \log f(x)=\log x^{2}=2\log |x|\,}$ no es convexa, y por tanto ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ no es logarítmicamente convexa. Sin embargo, ${\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}}$ sí es logarítmicamente convexa, pues ${\displaystyle \log e^{x^{2}}=x^{2}\,}$ es convexa. Otro ejemplo de función logarítmicamente convexa es la función gamma, restringida a los reales positivos (ver también el teorema de Bohr-Mollerup).