Cotangente hiperbólica

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Gráfica de la función cotangente hiperbólica.

En trigonometría, la cotangente hiperbólica de un número real $x$ , es una función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica. Se simboliza ${\text{coth}}(x)$ o ${\text{cotgh}}(x)$ y matemáticamente se sintetiza:

$\operatorname {coth} (x)={\frac {\operatorname {cosh} (x)}{\operatorname {senh} (x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

Derivación

El dominio de la función está definido para $(-\infty ,0)$ y $(0,+\infty )$ y su codominio queda definido para el intervalo $(-\infty ,-1)$ y $(1,+\infty )$ . La función presenta una asíntota horizontal en $y=-1$ y en $y=1$ . A ambos lados de la asíntota nos encontramos una función monótona estrictamente decreciente.

La derivada de la función es:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x$

Teorema de adición

La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición, se puede sintetizar en:

$\coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}$

Véase también

Referencias

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