Cuatro cuatros

A continuación, se presentan algunos ejemplos para varios números.

0	${\displaystyle {4 \over 4}-{4 \over 4}}$ ${\displaystyle 44-44}$ ${\displaystyle (4\times 4)-(4\times 4)}$ ${\displaystyle 4-4+4-4}$ ${\displaystyle 4^{4 \over 4}-4}$
1	${\displaystyle {4 \over 4}\times {4 \over 4}}$ ${\displaystyle {44 \over 44}}$ ${\displaystyle (4\times 4) \over (4\times 4)}$
2	${\displaystyle {4 \over 4}+{4 \over 4}}$ ${\displaystyle {4+{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}} \over {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {4\times 4} \over {4+4}}$
3	${\displaystyle {{4\times 4-4} \over 4}}$ ${\displaystyle {4+4+4} \over 4}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}-{4 \over 4}}$
4	${\displaystyle \left((4-4\right)\times 4)+4}$ ${\displaystyle {{(4+4)}\times {\sqrt {4}} \over 4}}$
5	${\displaystyle {{(4\times 4)+4} \over 4}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{4 \over 4}}$ ${\displaystyle 4^{4-4}+4}$
6	${\displaystyle {{4!\times {4 \over 4}} \over 4}}$ ${\displaystyle 4+({4+4 \over 4})}$
7	${\displaystyle {4! \over {4+4}}+4}$ ${\displaystyle {44 \over 4}-4}$ ${\displaystyle 4+4-{4 \over 4}}$
8	${\displaystyle 4+4\times {4 \over 4}}$ ${\displaystyle 4+4+4-4}$ ${\displaystyle 4^{4 \over 4}+4}$
9	${\displaystyle 4+4+{4 \over 4}}$
10	${\displaystyle 4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {(44-4) \over 4}}$ ${\displaystyle {4!+(4\times 4)} \over 4}$
11	${\displaystyle 44 \over ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})}$
12	${\displaystyle {\sqrt {4}}\times ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})}$ ${\displaystyle 4!-4-4-4}$ ${\displaystyle 4\times 4-{\sqrt {4\times 4}}}$
13	${\displaystyle {4! \over {\sqrt {4}}}+{4 \over 4}}$
14	${\displaystyle {4\times 4}-{4 \over {\sqrt {4}}}}$
15	${\displaystyle {44 \over 4}+4}$ ${\displaystyle {4\times 4}-{4 \over 4}}$
16	${\displaystyle 4+4+4+4}$
17	${\displaystyle 4\times 4+{4 \over 4}}$
18	${\displaystyle 4\times 4+{4 \over {\sqrt {4}}}}$
19	${\displaystyle 4!-{4 \over 4}-4}$
20	${\displaystyle \left(4+{4 \over 4}\right)\times 4}$
21	${\displaystyle 4!-(4-{4 \over 4})}$
22	${\displaystyle 4!-{\sqrt {4}}\times {4 \over 4}}$
23	${\displaystyle 4!-4^{(4-4)}}$ ${\displaystyle 4!-{\sqrt {4}}+{4 \over 4}}$
24	${\displaystyle 4\times 4+4+4}$
25	${\displaystyle 4!+{\sqrt {4}}-{4 \over 4}}$
26	${\displaystyle 4!+{4+4 \over 4}}$
27	${\displaystyle 4!+{\sqrt {4}}+{4 \over 4}}$
28	${\displaystyle 4!+{4*4 \over 4}}$ ${\displaystyle (4+4)\cdot 4-4}$
29	${\displaystyle 4!+4+{4 \over 4}}$
30	${\displaystyle 4!+4+{4 \over {\sqrt {4}}}}$
31	${\displaystyle 4!+{4+4! \over 4}}$
32	${\displaystyle {{\left(4^{4}\right)} \over {4+4}}}$ ${\displaystyle 4!+{{4\times 4} \over {\sqrt {4}}}}$ ${\displaystyle 4\cdot 4+4\cdot 4}$
35	${\displaystyle 4!+{44 \over 4}}$
36	${\displaystyle 4(4+4)+4}$
60	${\displaystyle {4\times 4\times 4}-4}$ ${\displaystyle 4^{\sqrt {4}}+44}$
70	${\displaystyle {(4+4)! \over 4!\cdot 4!}}$ ${\displaystyle 4!+4!+4!-{\sqrt {4}}}$
82	${\displaystyle {(4!-4)\cdot 4+{\sqrt {4}}}}$
86	${\displaystyle 44\cdot {\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}}$
100	${\displaystyle (4+4+{\sqrt {4}})^{\sqrt {4}}}$
180	${\displaystyle 44\times 4+4}$
250	${\displaystyle 4^{4}-4-{\sqrt {4}}}$
256	${\displaystyle {4\times 4\times 4\times 4}}$
1024	${\displaystyle {{(4+4)^{4}} \over 4}}$
4444	${\displaystyle {4444}}$

Si bien el problema original solo contaba con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, concatenación, raíces, factoriales y conversión a decimales, si se permite también agregar el operador logaritmo, entonces se puede generar una solución para todo número perteneciente a los números reales.

Partiendo que:

${\displaystyle a=b^{c}\Rightarrow \log _{b}a=c}$

Quiere decir que:

${\displaystyle 4=4^{1}\Rightarrow \log _{4}4=1}$

${\displaystyle 16=4^{2}\Rightarrow \log _{4}16=2}$

${\displaystyle 64=4^{3}\Rightarrow \log _{4}64=3}$

Y de esta manera sucesivamente, se tiene una respuesta para todos los números reales utilizando ${\displaystyle \log _{4}(x)}$, ya que ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\log _{4}(x)=\infty }$, así que habrá una respuesta para cada número natural.

Además que ${\displaystyle \log _{4}4^{n}=n}$

Ahora, para utilizar los cuatro cuatros, entonces se procede con que:

${\displaystyle {\sqrt {a}}\equiv a^{\frac {1}{2}}}$

Utilizando esto en la propiedad anterior se obtiene que:

${\displaystyle \log _{4}{\sqrt {4}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {a}}}\equiv a^{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle \log _{4}{\sqrt {\sqrt {4}}}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle \log _{4}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}={\frac {1}{8}}}$

De esta manera, y con los operandos logaritmo y raíz, se utilizan dos de los cuatro cuatros; ahora, se parte de:

${\displaystyle a=b^{c}\Rightarrow \log _{b}a=c}$

Para encontrar las respuestas de los anteriores pero esta vez para la base ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$:

${\displaystyle \log _{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}})=1}$

${\displaystyle \log _{\frac {1}{2}}({\frac {1}{4}})\equiv \log _{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}^{2})=2}$

${\displaystyle \log _{\frac {1}{2}}({\frac {1}{8}})\equiv \log _{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}^{3})=3}$

Lo único que se requiere es conseguir expresar ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ con los dos cuatros restantes;

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}\equiv {\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}}$

Entonces todo lo que se requiere es expresar:

${\displaystyle \log _{\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}\left[\log _{4}{\sqrt {4}}\right]=n}$

Donde n es el número de operando raíces que deben ser colocadas

Con n=1;

${\displaystyle \log _{\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}\left[\log _{4}{\sqrt {4}}\right]=1}$

Con n=2;

${\displaystyle \log _{\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}\left[\log _{4}{\sqrt {\sqrt {4}}}\right]=2}$

Con n=3;

${\displaystyle \log _{\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}\left[\log _{4}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}\right]=3}$

Con n=4;

${\displaystyle \log _{\frac {\left|{\sqrt {4}}\right|}{4}}\left[\log _{4}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}}\right]=4}$

Recordemos que una raíz n de un número m, es igual a m elevado a la (1/n), por ende al utilizar la raíz cuadrada de 4 dejaríamos de usar solo cuatro cuatros, ya que también estaríamos empleando los números 1 y n respectivamente para la potencia. En conclusión, esta demostración por construcción queda totalmente invalidada porque no cumple con la premisa de partida del problema. Finalmente, podemos deducir que F lau. No olvidar que al asumir la transitividad por la Conjetura de Cliff, se toman solo los números impares.

• Four Fours Juego En línea Archivado el 13 de julio de 2010 en Wayback Machine., Rogerio Penchel
• Lista Archivado el 2 de agosto de 2011 en Wayback Machine.
• Four Fours Problem (en inglés)