Demostración de que 22/7 es mayor que π

²²⁄₇ es una aproximación diofántica ampliamente utilizada de π. En efecto, se puede ver fácilmente, al expandir decimalmente que:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3,{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3,141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}$

Esta aproximación era conocida desde la antigüedad. Arquímedes fue el primero que escribió que había demostrado que ²²⁄₇ sobrepasaba a π durante el siglo III a. C.^[2] pero utilizaba esta aproximación.

Su prueba consistía en demostrar que ²²⁄₇ es mayor que la razón entre el perímetro de un polígono regular con 96 lados y el diámetro del círculo que lo circunscribe.

Una mejor aproximación racional de π es dado por la fracción ³⁵⁵⁄₁₁₃.

Una demostración moderna de esta desigualdad puede hacerse por el cálculo de la integral.

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x={\frac {22}{7}}-\pi .}$

Por lo tanto, ²²⁄₇ > π.

El número ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$ es estrictamente positivo porque la función ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}}$ es continua y estrictamente positiva sobre el intervalo ]0 ; 1[.

Queda por demostrar que la integral se evalúa para valor la cantidad deseada:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansión de los términos del numerador}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ utilizar división de polinomios largos}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{integración definida}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{con }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ y }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{adición}}\end{aligned}}}$

Dalzell da un resultado más preciso al limitar la diferencia con el estudio del denominador.^[3] Así, tenemos

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}~\mathrm {d} x.}$

Luego, al calcular:

${\displaystyle {\frac {1}{1\;260}}<{\frac {22}{7}}-\pi <{\frac {1}{630}}.}$

• División polinomial
• Demostración de la irracionalidad de π
• Teorema de Lindemann–Weierstrass