Discriminante

El discriminante de los polinomios cúbicos

El polinomio cúbico ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ tiene discriminante ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$.

Caso general

El discriminante del polinomio general

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n − 1)×(2n − 1) (Véase también: matriz de Sylvester)

${\displaystyle \left({\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}\\\end{matrix}}\right)}$

El determinante de esta matriz se conoce como la resultante de ${\displaystyle p(x)}$ y ${\displaystyle p'(x)}$, notación ${\displaystyle R(p,p')}$. El discriminante ${\displaystyle D(p)}$ de ${\displaystyle p(x)}$ viene dado por

${\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,}$.

Por

El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por ${\displaystyle a_{4}}$.

De forma equivalente, el discriminante es igual a

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

donde r₁,..., r_n son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x):

${\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}$

Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).

El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raíces r_i igue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.

Discriminante de una sección cónica

Para una sección cónica definida por el polinomio real:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f= 0,

el discriminante es igual a

b² − 4ac,

y determina la forma de la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse o una circunferencia. Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola. Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola. Esta fórmula no funciona en los casos en que el polinomio ya se ha factorizado.

Discriminante de una forma cuadrática

Hay una generalización de las formas cuadráticas Q sobre cualquier cuerpo K de característica ≠ 2. Pueden expresarse como la suma de términos

a_iL_i²

donde los términos L_i son formas lineales y 1 ≤ i ≤ n donde n es el número de variables. Entonces el discriminante es el producto de a_i, tomado en K/K², y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de una matriz simétrica para Q.