Diseño factorial

Los diseños factoriales ya fueron utilizados en el siglo XIX por John Bennet Lawes y Henry J. Gilbert, fundadores, en 1843 de la Estación experimental de Rothamsted, el primer instituto organizado de investigación agrícola del mundo. Gilbert, químico, aportó el rigor científico en la experimentación y estudio de los datos obtenidos de los diferentes experimentos, creando un legado perdurable para la ciencia agrícola,^[2] aunque es posible que el término "factorial" no haya sido utilizado como tal, para definir este tipo de diseño experimental, al menos en forma impresa, hasta 1935, cuando R. Fisher lo utilizó en su libro The Design of Experiments (1935).^[3] Durante la década de 1920 y comienzo de la de 1930, el biólogo y estadístico inglés Ronald Fisher fue el responsable del análisis de datos y estudio estadístico de la Rothamsted Agricultural Experimental Station. Este científico, en sus discusiones y exposiciones, hacia 1926 ya planteó que los diseños «complejos», tales como los diseños factoriales, eran más eficientes que los estudios unifactoriales, es decir aquellos estudios en los solo se examina un factor cada vez. Fisher escribió: «ningún aforismo se repite tan frecuentemente respecto de las pruebas de campo, que aquel de que a la Naturaleza debemos hacerle pocas preguntas, o, idealmente, hacérselas de a una. Quien escribe está convencido de que este punto de vista está totalmente equivocado».

Los diseños factoriales se consideran muy eficientes, sobre todo en los inicios de un estudio experimental, cuando todavía no se conocen bien cuáles son los factores más influyentes, sus rangos de influencia y sus interacciones. Otro beneficio de estos diseños es que permiten realizar experimentos en todo el espectro de factores.^[4] Por último, un diseño factorial permite que el efecto de varios factores e incluso las interacciones entre ellos sean determinados con el mismo número de ensayos que son necesarios para determinar cualquiera de los efectos por sí solo con el mismo grado de exactitud.

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Los diseños factoriales se describen mediante dos elementos: el número de factores y el número de niveles de cada factor y los experimentos y las condiciones en que se realiza cada uno de ellos se obtienen de la combinación, o más correctamente, variación simultánea de todos los factores para cada uno de los de niveles. Por lo tanto, el número total de experimentos que deberán llevarse a cabo con este tipo de diseño se puede establecer de antemano, ya que matemáticamente se tratan de variaciones con repetición.

${\displaystyle N=l^{k}}$

Donde N indica el número total de experimentos en función de los niveles, l, elegidos y de los factores, k, incluidos en el experimento. De esta manera, en el caso de diseño factorial más sencillo, el de dos factores y dos niveles en cada factor (diseño factorial de 2×2) es necesario realizar 4 experimentos. Para tres factores y dos niveles por factor, el número de experimentos será igual a 8 (2³) o si fuera para igual número de factores pero tres niveles, la cantidad total de experimentos a realizar sería N=3³; es decir 27 y así sucesivamente.

En los diseños experimentales, sobre todo en los factoriales, es frecuente codificar tanto los factores, como los niveles en los que estos van a variar. Esto se hace por pura comodidad, para ahorrar espacio, sobre todo cuando los nombres de los factores son relativamente largos o complejos y los valores de los niveles, números grandes o con varios decimales, lo que dificulta su escritura. También es habitual escalar los valores de los niveles. El escalado consiste en hacer una transformación matemática de los valores de las variables o factores para que todos ellos queden confinados en un rango [a, b], típicamente [-1, 1]. A veces, cuando con el diseño experimental se busca encontrar qué factores tienen mayor influencia sobre la respuesta experimental, también se suele llevar a cabo una normalización. La normalización consiste en transformar los factores de forma que todos compartan un mismo valor medio y una misma desviación media.

Existen diversas tradiciones para denotar los niveles de cada factor. En este sentido, un diseño factorial que fuera de dos factores para dos niveles de variabilidad de cada factor, los factores podrían codificarse, por ejemplo, como factor A y factor B o, también, factor x₁ y factor x₂, o de cualquier otra forma que se crea oportuna. En cuanto a los niveles, si van a ser dos y van a estar escalados, el nivel más bajo de cada factor recibe la notación -1 y el más alto +1. También existen otras notaciones utilizadas en diseños de dos niveles, como por ejemplo, denominar el nivel más bajo con el valor 0 y el nivel más alto con el valor 1. Otra notación, cuando los factores se han codificado con letras mayúsculas, es indicar con la misma letra que el factor, pero en minúscula, el experimento del diseño en que dicho factor se encuentra en el nivel máximo, dando por hecho que el otro se encuentra en su nivel mínimo. Cuando ambos factores se encuentran en el nivel máximo, el experimento se indica con ambas letras y cuando coincide con la combinación en que todos los factores se encuentran en el nivel mínimo, el experimento se codifica con 1.^[5] La siguiente tabla muestra diferentes notaciones para un diseño factorial N = 2² (dos factores y dos niveles por factor)

Ejemplo

El experimento factorial más simple contiene dos niveles para cada uno de los factores. Supóngase que un ingeniero desea estudiar la energía total usada por cada uno de dos diferentes motores, A y B, funcionando cada uno en alguna de las siguientes dos velocidades: 2000 o 3000 rpm. El experimento factorial consistiría en los siguientes cuatro elementos experimentales:

Más información Experimento, Factor (codificado) ...

Experimento	Factor (codificado)		Factor (no codificado)
	A	B	Motor A	Motor B
1	-	-	2000 RPM	2000 RPM
2	+	-	3000 RPM	2000 RPM
3	-	+	2000 RPM	3000 RPM
4	+	+	3000 RPM	3000 RPM

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Como puede verse, nunca se repite la misma combinación de factores y niveles.

Representación gráfica

Cuando el número de factores es de dos o de tres y no hay un número elevado de niveles, los diseños pueden ser representados gráficamente mediante figuras geométricas cuyo centro es el centro de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas en las que cada eje representa un factor. En estos casos es frecuente, aunque no siempre, codificar los factores como x₁, x₂ y x₃ y cada experimento viene representado por las coordenadas de los puntos más significativos. Para facilitar su representación se suelen utilizar los niveles escalados y centrados. Esto permite visualizar rápidamente el diseño y suele ser útil a la hora de la interpretación de las respuestas, ya que es frecuente que cuando el diseño está dirigido al estudio de las respuestas experimentales, los resultados de las medidas correspondientes a cada experimento (variable respuesta o variable dependiente), se coloquen junto a cada vértice, de forma que de una sola mirada se puede apreciar el resultado que tiene cada combinación de niveles y factores sobre el resultado de los experimentos.

En los casos de los diseños de más de dos niveles, también es posible representarlos gráficamente, aunque a medida que aumenta el número de niveles la representación gráfica se hace más compleja. El diseño gráfico para dos factores y tres niveles (N = 3²), los nueve posibles experimentos se obtendrían a partir de las coordenadas de los vértices, como en el diseño 2x2, a las que hay que añadir las cuatro coordenadas correspondientes al centro de cada lado del cuadrado más las coordenadas del centro de la figura geométrica. En el caso de un diseño para tres factores y tres niveles, a las coordenadas de los vértices del cubo (8) hay que añadir las correspondientes a los centros de cada arista (12), las de los centros de cada cara (6) y las coordenadas del centro del cubo, en total, veintisiete experimentos (N = 3³). En la tabla se muestran las coordenadas que representan los 27 puntos de este diseño.

Más información Experimento (coordenadas), Factor (codificado) ...

Experimento (coordenadas)	Factor (codificado)				Experimento (coordenadas)	Factor (codificado)
	x1	x2	x3			x1	x2	x3
1	1	1	1		15	0	0	-1
2	1	1	0		16	0	-1	1
3	1	1	-1		17	0	-1	0
4	1	0	1		18	0	-1	-1
5	1	0	0		19	-1	1	1
6	1	0	-1		20	-1	1	0
7	1	-1	1		21	-1	1	-1
8	1	-1	0		22	-1	0	1
9	1	-1	-1		23	-1	0	0
10	0	1	1		24	-1	0	-1
11	0	1	0		25	-1	-1	1
12	0	1	-1		26	-1	-1	0
13	0	0	1		27	-1	-1	-1
14	0	0	0

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Los experimentos que contienen todos los valores distintos de cero corresponden a las coordenadas de los vértices del cubo; los que contienen un cero, a las aristas; los que contienen dos ceros a los centros de las caras y el experimento de los tres ceros, corresponde a las coordenadas del centro del cubo, ya que este coincide con el origen de coordenadas.

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Los diseños factoriales en los que se tiene en cuenta todos los factores y todos los niveles reciben el nombre de diseños factoriales completos y entre sus principales ventajas, están la de permitir realizar experimentos en todo el intervalo de factores de forma equilibrada, ya que como se muestran en los ejemplos anteriores, el diseño presenta cierta simetría en las experimentos diseñados, esta simetría redunda en una simplificación a la hora de evaluar los datos obtenidos de dichos experimentos.^[6] Siempre que el número de factores sea pequeño, los diseños factoriales completos pueden ejecutarse fácilmente. Sin embargo, con un número mayor de factores, el número de experimentos, al tratarse de una función exponencial, aumentará drásticamente. Así, un diseño factorial de 10 factores, aunque solo se haga para dos niveles, el número de experimentos necesarios serían N = 2¹⁰ = 1024 experimentos, lo cual puede resultar impracticable. Esta es una de las principales debilidades de los diseños factoriales completos. Por otro lado, una cantidad tan grande de experimentos no siempre proporciona información adicional útil o interesante; por lo tanto, realizarlos todos supone una pérdida de tiempo y recursos.^[7] Existen diferentes procedimientos para reducir el número de experimentos. Uno de los más sencillos consiste en realizar solamente algunos experimentos, en número tal que sean representativos del total del diseño factorial para lo cual se han desarrollado reglas para generar un subconjunto correcto de los experimentos originales. Es lo que se conoce como diseño factorial fraccionado.

Esta metodología se aplica principalmente a diseños factoriales de dos niveles con múltiples factores. Este tipo de diseños son útiles con fines exploratorios, siendo muy adecuados en las primeras etapas del desarrollo de un método o procedimiento, donde los resultados pueden depender de numerosos parámetros. También son muy útiles en la resolución de problemas, donde uno o más de un gran número de factores candidatos pueden ser responsables del problema que se está investigando.^[8]

Para entender la mecánica de cómo se lleva a cabo el fraccionado del diseño, se va a considerar un diseño sencillo de tres factores y dos niveles, como ejemplo extremadamente sencillo, aunque sea demasiado pequeño, desde el punto de vista práctico. Para este procedimiento de reducción del número de experimentos es muy importante que los niveles estén codificados y escalados de forma simétrica, es decir, que necesariamente al nivel alto de cada uno de los factores se codifique como 1 y el bajo -1. Con esta codificación de niveles, el siguiente paso consiste en obtener una tabla con los diferentes experimentos correspondiente al diseño factorial completo. A dicha tabla se le añade una columna adicional cuyos valores serán el producto de, por ejemplo la columna correspondiente al factor x₁ por la del factor x₂ . Esta columna habitualmente se denomina producto de cruce o interacción x₁•x₂ (o también, fusión x₁•x₂). Observando atentamente esta columna, rápidamente se puede apreciar que en algunos casos este producto de cruce se corresponde con los niveles diseñados para x₃. Si de este diseño factorial completo se extraen aquellos experimentos en que se da esta situación, se obtiene un nuevo diseño formado por cuatro experimentos, es decir la mitad de los iniciales.^[7] Se trata ahora de un diseño factorial fraccionado N= 2^k-p. En el caso de dos niveles con p = 1, la reducción del número de experimentos es la mitad. Son los llamados diseños factoriales de media fracción (1/2).

Siguiendo este procedimiento se pueden hacer fraccionamientos de cualquier diseño factorial completo para dos niveles, independientemente del número de factores que intervengan en el diseños. La columna de interacción o cruce se hace, como en el caso anterior, multiplicando las columnas de los n-1 factores y comparándola con la columna correspondiente al factor no implicado en la interacción. En todos los casos se consigue reducir a la mitad en número de experimentos del diseño completo.

Si se observa atentamente los dos diseños, el factorial completo y el fraccionado de cualquiera de las dos figuras anteriores, la correspondiente al diseño N = 2³ y el correspondiente al diseño N = 2⁴ , se aprecia en cada uno de ellos ciertas similitudes entre el diseño completo y el fraccionado:

1. En ambos diseños la mitad de los experimentos comienzan por el nivel 1 y otra mitad por el nivel -1.
2. En ambos diseños, para cada factor hay igual número de experimentos en el nivel 1 que en el nivel -1.
3. Si observa, por ejemplo en el diseño N = 2⁴ , la secuencia en que aparecen los niveles para el factor x₂ en el diseño completo (1,1,1,1, -1,-1,-1,-1,...) es la misma que para el factor x₁ en el diseño fraccionado. Lo mismo ocurre entre el factor x₃ en diseño completo (1,1,-1,-1,...) respecto del x₂ en el fraccionado y entre el factor x₄ en diseño completo respecto del x₃, en el fraccionado. Secuencias similares se pueden encontrar en otros diseños con un número diferentes de factores.

Cuando el número de factores es tan alto que, aun con un diseño fraccionado N = 2^k-1 (1/2), sigue resultando un número elevado de experimentos, se pueden construir diseños más pequeños, de forma que queden diseños factoriales fraccionados en los que solo se llevan a cabo 1/4 de los experimentos, N = 2^k-2 o restricciones mayores, como diseños N = 2^k-3 (1/8) o incluso otros fraccionamientos fusionando varias columnas del diseño factorial completo. En cualquier caso, hay que tener en cuenta que a medida que se reduce el número de experimentos, la cantidad de información que puede ser obtenida a partir de ellos, también se ve reducida.^[9] En general, este enfoque es muy popular en muchas situaciones exploratorias y tiene la ventaja adicional de que los datos son fáciles de analizar. A título de ejemplo, en la siguiente tabla se muestran los 8 experimentos seleccionados a partir de los 32 correspondientes a un diseño factorial completo para dos niveles y cinco factores (reducción 1/4). El criterio para la extracción de los experimentos válidos ha sido que la columna del factor x₄ sea igual al producto de las columnas de los factores x₁•x₂ , a la vez que la columna del factor x₅ lo sea al producto de las columnas x₁•x₂•x₃.

Como puede verse, el diseño 1/4 cumple con los requisitos comentados anteriormente para el fraccionamiento de diseños factoriales completos. Además, si se observa cuidadosamente este diseño con los ocho experimentos del diseño fraccionado 1/2 obtenido para cuatro factores, se ve enseguida que la secuencia de los factores x₁, x₂ y x₃ es exactamente la misma en ambos diseños.

Alternativamente al diseño factorial o multivariante existe el experimento univariante, en el que se examina un factor cada vez. En comparación con estos, los experimentos factoriales ofrecen varias ventajas:^[10][11]

• Los diseños factoriales son más eficientes que los experimentos univariantes. Proporcionan más información a un coste similar o menor. Permiten encontrar las condiciones óptimas con mayor rapidez.
• Cuando el efecto de un factor es diferente para distintos niveles de otro factor, no puede detectarse mediante un diseño de experimento univariante. Los diseños factoriales son necesarios para detectar dichas interacciones. El uso de experimentos univariantes cuando existen interacciones entre los factores puede dar lugar a interpretaciones erróneas en los modelos de comportamiento que dan lugar a modelos matemáticos inadecuados.
• Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en varios niveles de los demás factores, lo que permite obtener conclusiones válidas en diversas condiciones experimentales.

La principal desventaja del diseño factorial completo es el tamaño de la muestra, que aumenta exponencialmente con el número de factores o entradas consideradas.^[12] Las estrategias alternativas con una eficiencia computacional mejorada incluyen diseños factoriales fraccionales, muestreo de hipercubo latino y técnicas de muestreo cuasialeatorio.

• Diseño experimental
• Método científico
• Contraste de hipótesis
• Modelo probabilístico
• Propagación de errores