Disección en ortoesquemas
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En geometría, la conjetura de Hugo Hadwiger postula que todo símplex puede ser diseccionado en ortoesquemas utilizando un número limitado de estas figuras, en función de la dimensión del simplex.[1] Si esto es cierto, entonces, de forma más general, todo politopo convexo podría diseccionarse en ortoesquemas. El problema de la disección en ortoesquemas de un simplex genérico de dimensión n seguía sin resolverse en 2026.
En este contexto, un símplex en el espacio euclídeo -dimensional es la envolvente convexa de un conjunto de puntos que no se encuentran todos en un hiperplano común. Por ejemplo, un símplex bidimensional es simplemente un triángulo (la envolvente convexa de tres puntos en el plano) y un símplex tridimensional es un tetraedro (la envolvente convexa de cuatro puntos en el espacio tridimensional). Los puntos que forman el símplex de esta manera se denominan sus vértices.
Un ortoesquema, también llamado símplex de camino, es un tipo especial de símplex. En este caso, los vértices se pueden conectar mediante un camino, de modo que cada dos aristas del camino formen un ángulo recto entre sí. Un ortoesquema bidimensional es un triángulo rectángulo. Un ortoesquema tridimensional se puede construir a partir de un cubo, encontrando un camino de tres aristas del cubo que no se encuentren todas sobre la misma cara cuadrada, y formando la envolvente convexa de los cuatro vértices de este camino.
Una disección de una figura (que puede ser cualquier conjunto cerrado en el espacio euclídeo) es una representación de como la unión de otras figuras cuyos interiores son disjuntos entre sí. Es decir, intuitivamente, las figuras en la unión no se superponen, aunque pueden compartir puntos en sus límites. Por ejemplo, un cubo se puede diseccionar en seis ortoesquemas tridimensionales. Un resultado similar se aplica de forma más general: todo hipercubo o hiperrectángulo en dimensiones se puede diseccionar en ortoesquemas.
La conjetura de Hadwiger postula que existe una función tal que todo símplex de dimensión puede descomponerse en a lo sumo ortoesquemas. Hadwiger planteó este problema en 1956;[2] y permanece sin resolver en general, aunque se conocen casos especiales para valores pequeños de .[1]
