Regla de Ruffini

Ejemplo 1

División de

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

entre

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe ${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

3. Sumando la columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, donde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$ y ${\displaystyle s=-3.\,\!}$

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

${\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+1}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Entonces F(x) se factoriza como:${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$

Ejemplo 3

Cuando el resto es igual a 0, la raíz correspondiente r no es un número entero, como en el siguiente ejemplo:

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-3x^{2}-2x+3}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=2x-3}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&-3&-2&3\\3/2&{}&{3}&{0}&{-3}\\\hline {}&2&{0}&{-2}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Interpretación matemática:

• El último valor es el residuo, el cual es 0. Esto nos confirma que 3/2 es una raíz del polinomio.
• Los valores restantes en la fila inferior (2, 0, -2) representan los coeficientes del cociente Q(x), que al tener un grado menor que el original equivale a ${\displaystyle 2x^{2}-2}$.
• Por lo tanto, la factorización parcial del polinomio se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle P(x)=(x-3/2)*(2x^{2}-2)}$

Ejemplo 4

División por polinomio con coeficientes complejos:

${\displaystyle F(x)=4x^{3}+x^{2}}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+(1+i)}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&4&1&0&0\\-(1+i)&{}&-(4+4i)&-1+7i&8-6i\\\hline {}&4&-(3+4i)&(-1+7i)&-(-8+6i)\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

${\displaystyle F(x)=[4x^{2}-(3+4i)x+(-1+7i)]G(x)+(8-6i)}$

Encontrar raíces

Si ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}$

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

${\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}$

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.